Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35991 / 104461
↖ ↑ ↗
← S 72.406501°
W 81.147766°		 ← 92.32 m → S 72.406501°
W 81.145019°		 →
↑
92.32 m
↓
↑
92.32 m
↓
S 72.407332°
W 81.147766°		 ← 92.31 m →
8 522 m²		 S 72.407332°
W 81.145019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274593353271484 y=0.796977996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274593353271484 × 217)
    floor (0.274593353271484 × 131072)
    floor (35991.5)     		tx = 35991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796977996826172 × 217)
    floor (0.796977996826172 × 131072)
    floor (104461.5)     		ty = 104461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35991 / 104461 ti = "17/35991/104461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35991/104461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35991 ÷ 217
    35991 ÷ 131072     		x = 0.274589538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104461 ÷ 217
    104461 ÷ 131072     		y = 0.796974182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274589538574219 × 2 - 1) × π
    -0.450820922851562 × 3.1415926535     		Λ = -1.41629570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796974182128906 × 2 - 1) × π
    -0.593948364257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.86594381771069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41629570} λ = -1.41629570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86594381771069))-π/2
    2×atan(0.154750085067142)-π/2
    2×0.153532239298694-π/2
    0.307064478597388-1.57079632675     		φ = -1.26373185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41629570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.147766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26373185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.406501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35991 KachelY 104461 -1.41629570 -1.26373185 -81.147766 -72.406501
    Oben rechts KachelX + 1 35992 KachelY 104461 -1.41624776 -1.26373185 -81.145019 -72.406501
    Unten links KachelX 35991 KachelY + 1 104462 -1.41629570 -1.26374634 -81.147766 -72.407332
    Unten rechts KachelX + 1 35992 KachelY + 1 104462 -1.41624776 -1.26374634 -81.145019 -72.407332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26373185--1.26374634) × R
    1.44899999998671e-05 × 6371000     		dl = 92.3157899991534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26373185--1.26374634) × R
    1.44899999998671e-05 × 6371000     		dr = 92.3157899991534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41629570--1.41624776) × cos(-1.26373185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302261728775711 × 6371000     		do = 92.3185121849402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41629570--1.41624776) × cos(-1.26374634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302247916514135 × 6371000     		du = 92.3142935647274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26373185)-sin(-1.26374634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302261728775711-0.302247916514135)×R²
    abs(-1.41624776--1.41629570)×1.38122615757075e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38122615757075e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38122615757075e-05×40589641000000     		ar = 8522.26166150604m²