Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35990 / 105127
↖ ↑ ↗
← S 72.951069°
W 81.150513°		 ← 89.55 m → S 72.951069°
W 81.147766°		 →
↑
89.51 m
↓
↑
89.51 m
↓
S 72.951874°
W 81.150513°		 ← 89.54 m →
8 015 m²		 S 72.951874°
W 81.147766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274585723876953 y=0.802059173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274585723876953 × 217)
    floor (0.274585723876953 × 131072)
    floor (35990.5)     		tx = 35990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802059173583984 × 217)
    floor (0.802059173583984 × 131072)
    floor (105127.5)     		ty = 105127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35990 / 105127 ti = "17/35990/105127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35990/105127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35990 ÷ 217
    35990 ÷ 131072     		x = 0.274581909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105127 ÷ 217
    105127 ÷ 131072     		y = 0.802055358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274581909179688 × 2 - 1) × π
    -0.450836181640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41634364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802055358886719 × 2 - 1) × π
    -0.604110717773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.89786979285764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41634364} λ = -1.41634364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89786979285764))-π/2
    2×atan(0.149887570959599)-π/2
    2×0.148779990744656-π/2
    0.297559981489312-1.57079632675     		φ = -1.27323635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41634364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.150513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27323635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.951069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35990 KachelY 105127 -1.41634364 -1.27323635 -81.150513 -72.951069
    Oben rechts KachelX + 1 35991 KachelY 105127 -1.41629570 -1.27323635 -81.147766 -72.951069
    Unten links KachelX 35990 KachelY + 1 105128 -1.41634364 -1.27325040 -81.150513 -72.951874
    Unten rechts KachelX + 1 35991 KachelY + 1 105128 -1.41629570 -1.27325040 -81.147766 -72.951874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27323635--1.27325040) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dl = 89.5125500006288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27323635--1.27325040) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dr = 89.5125500006288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41634364--1.41629570) × cos(-1.27323635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293188286051404 × 6371000     		do = 89.5472492265229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41634364--1.41629570) × cos(-1.27325040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293174853453641 × 6371000     		du = 89.543146565411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27323635)-sin(-1.27325040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293188286051404-0.293174853453641)×R²
    abs(-1.41629570--1.41634364)×1.34325977631522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34325977631522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34325977631522e-05×40589641000000     		ar = 8015.4190041536m²