Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35990 / 105125
↖ ↑ ↗
← S 72.949458°
W 81.150513°		 ← 89.56 m → S 72.949458°
W 81.147766°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
S 72.950264°
W 81.150513°		 ← 89.55 m →
8 022 m²		 S 72.950264°
W 81.147766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274585723876953 y=0.802043914794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274585723876953 × 217)
    floor (0.274585723876953 × 131072)
    floor (35990.5)     		tx = 35990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802043914794922 × 217)
    floor (0.802043914794922 × 131072)
    floor (105125.5)     		ty = 105125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35990 / 105125 ti = "17/35990/105125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35990/105125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35990 ÷ 217
    35990 ÷ 131072     		x = 0.274581909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105125 ÷ 217
    105125 ÷ 131072     		y = 0.802040100097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274581909179688 × 2 - 1) × π
    -0.450836181640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41634364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802040100097656 × 2 - 1) × π
    -0.604080200195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.8977739190584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41634364} λ = -1.41634364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8977739190584))-π/2
    2×atan(0.149901941939374)-π/2
    2×0.148794045926451-π/2
    0.297588091852902-1.57079632675     		φ = -1.27320823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41634364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.150513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27320823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.949458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35990 KachelY 105125 -1.41634364 -1.27320823 -81.150513 -72.949458
    Oben rechts KachelX + 1 35991 KachelY 105125 -1.41629570 -1.27320823 -81.147766 -72.949458
    Unten links KachelX 35990 KachelY + 1 105126 -1.41634364 -1.27322229 -81.150513 -72.950264
    Unten rechts KachelX + 1 35991 KachelY + 1 105126 -1.41629570 -1.27322229 -81.147766 -72.950264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27320823--1.27322229) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dl = 89.5762600002417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27320823--1.27322229) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dr = 89.5762600002417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41634364--1.41629570) × cos(-1.27320823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293215170194228 × 6371000     		do = 89.5554603357394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41634364--1.41629570) × cos(-1.27322229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293201728151796 × 6371000     		du = 89.5513547899825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27320823)-sin(-1.27322229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293215170194228-0.293201728151796)×R²
    abs(-1.41629570--1.41634364)×1.3442042431866e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3442042431866e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3442042431866e-05×40589641000000     		ar = 8021.85932000871m²