Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35988 / 104468
↖ ↑ ↗
← S 72.412312°
W 81.156006°		 ← 92.29 m → S 72.412312°
W 81.153259°		 →
↑
92.25 m
↓
↑
92.25 m
↓
S 72.413141°
W 81.156006°		 ← 92.28 m →
8 514 m²		 S 72.413141°
W 81.153259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274570465087891 y=0.797031402587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274570465087891 × 217)
    floor (0.274570465087891 × 131072)
    floor (35988.5)     		tx = 35988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797031402587891 × 217)
    floor (0.797031402587891 × 131072)
    floor (104468.5)     		ty = 104468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35988 / 104468 ti = "17/35988/104468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35988/104468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35988 ÷ 217
    35988 ÷ 131072     		x = 0.274566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104468 ÷ 217
    104468 ÷ 131072     		y = 0.797027587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.45086669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41643951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797027587890625 × 2 - 1) × π
    -0.59405517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.86627937600803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41643951} λ = -1.41643951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86627937600803))-π/2
    2×atan(0.154698166103491)-π/2
    2×0.153481534192727-π/2
    0.306963068385455-1.57079632675     		φ = -1.26383326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41643951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.156006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26383326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.412312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35988 KachelY 104468 -1.41643951 -1.26383326 -81.156006 -72.412312
    Oben rechts KachelX + 1 35989 KachelY 104468 -1.41639157 -1.26383326 -81.153259 -72.412312
    Unten links KachelX 35988 KachelY + 1 104469 -1.41643951 -1.26384774 -81.156006 -72.413141
    Unten rechts KachelX + 1 35989 KachelY + 1 104469 -1.41639157 -1.26384774 -81.153259 -72.413141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26383326--1.26384774) × R
    1.44800000001499e-05 × 6371000     		dl = 92.2520800009552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26383326--1.26384774) × R
    1.44800000001499e-05 × 6371000     		dr = 92.2520800009552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41643951--1.41639157) × cos(-1.26383326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302165060677234 × 6371000     		do = 92.2889872594286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41643951--1.41639157) × cos(-1.26384774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302151257504187 × 6371000     		du = 92.2847714150862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26383326)-sin(-1.26384774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302165060677234-0.302151257504187)×R²
    abs(-1.41639157--1.41643951)×1.38031730474997e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38031730474997e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38031730474997e-05×40589641000000     		ar = 8513.65657577821m²