Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35986 / 37785
↖ ↑ ↗
← S 26.554136°
E 17.677002°		 ← 546.36 m → S 26.554136°
E 17.682495°		 →
↑
546.38 m
↓
↑
546.38 m
↓
S 26.559050°
E 17.677002°		 ← 546.33 m →
298 511 m²		 S 26.559050°
E 17.682495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549110412597656 y=0.576560974121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549110412597656 × 216)
    floor (0.549110412597656 × 65536)
    floor (35986.5)     		tx = 35986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576560974121094 × 216)
    floor (0.576560974121094 × 65536)
    floor (37785.5)     		ty = 37785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35986 / 37785 ti = "16/35986/37785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35986/37785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35986 ÷ 216
    35986 ÷ 65536     		x = 0.549102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37785 ÷ 216
    37785 ÷ 65536     		y = 0.576553344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549102783203125 × 2 - 1) × π
    0.09820556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30852189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576553344726562 × 2 - 1) × π
    -0.153106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.480998850787643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30852189} λ = 0.30852189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480998850787643))-π/2
    2×atan(0.618165628106096)-π/2
    2×0.553669608422329-π/2
    1.10733921684466-1.57079632675     		φ = -0.46345711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30852189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.677002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46345711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.554136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35986 KachelY 37785 0.30852189 -0.46345711 17.677002 -26.554136
    Oben rechts KachelX + 1 35987 KachelY 37785 0.30861776 -0.46345711 17.682495 -26.554136
    Unten links KachelX 35986 KachelY + 1 37786 0.30852189 -0.46354287 17.677002 -26.559050
    Unten rechts KachelX + 1 35987 KachelY + 1 37786 0.30861776 -0.46354287 17.682495 -26.559050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46345711--0.46354287) × R
    8.57599999999903e-05 × 6371000     		dl = 546.376959999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46345711--0.46354287) × R
    8.57599999999903e-05 × 6371000     		dr = 546.376959999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30852189-0.30861776) × cos(-0.46345711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894512368513167 × 6371000     		do = 546.357214801564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30852189-0.30861776) × cos(-0.46354287) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894474026798921 × 6371000     		du = 546.333796151421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46345711)-sin(-0.46354287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894512368513167-0.894474026798921)×R²
    abs(0.30861776-0.30852189)×3.8341714246215e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8341714246215e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8341714246215e-05×40589641000000     		ar = 298510.596574884m²