Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35986 / 104465
↖ ↑ ↗
← S 72.409822°
W 81.161499°		 ← 92.28 m → S 72.409822°
W 81.158753°		 →
↑
92.32 m
↓
↑
92.32 m
↓
S 72.410652°
W 81.161499°		 ← 92.28 m →
8 519 m²		 S 72.410652°
W 81.158753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274555206298828 y=0.797008514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274555206298828 × 217)
    floor (0.274555206298828 × 131072)
    floor (35986.5)     		tx = 35986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797008514404297 × 217)
    floor (0.797008514404297 × 131072)
    floor (104465.5)     		ty = 104465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35986 / 104465 ti = "17/35986/104465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35986/104465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35986 ÷ 217
    35986 ÷ 131072     		x = 0.274551391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104465 ÷ 217
    104465 ÷ 131072     		y = 0.797004699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274551391601562 × 2 - 1) × π
    -0.450897216796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41653538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797004699707031 × 2 - 1) × π
    -0.594009399414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.86613556530917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41653538} λ = -1.41653538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86613556530917))-π/2
    2×atan(0.154720414954643)-π/2
    2×0.15350326296645-π/2
    0.3070065259329-1.57079632675     		φ = -1.26378980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41653538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.161499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26378980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.409822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35986 KachelY 104465 -1.41653538 -1.26378980 -81.161499 -72.409822
    Oben rechts KachelX + 1 35987 KachelY 104465 -1.41648745 -1.26378980 -81.158753 -72.409822
    Unten links KachelX 35986 KachelY + 1 104466 -1.41653538 -1.26380429 -81.161499 -72.410652
    Unten rechts KachelX + 1 35987 KachelY + 1 104466 -1.41648745 -1.26380429 -81.158753 -72.410652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26378980--1.26380429) × R
    1.44899999998671e-05 × 6371000     		dl = 92.3157899991534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26378980--1.26380429) × R
    1.44899999998671e-05 × 6371000     		dr = 92.3157899991534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41653538--1.41648745) × cos(-1.26378980) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.302206488881084 × 6371000     		do = 92.2823869239567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41653538--1.41648745) × cos(-1.26380429) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.302192676365729 × 6371000     		du = 92.2781691062287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26378980)-sin(-1.26380429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302206488881084-0.302192676365729)×R²
    abs(-1.41648745--1.41653538)×1.38125153544832e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.38125153544832e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.38125153544832e-05×40589641000000     		ar = 8518.92676647349m²