Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35985 / 104466
↖ ↑ ↗
← S 72.410652°
W 81.164246°		 ← 92.30 m → S 72.410652°
W 81.161499°		 →
↑
92.25 m
↓
↑
92.25 m
↓
S 72.411482°
W 81.164246°		 ← 92.29 m →
8 514 m²		 S 72.411482°
W 81.161499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274547576904297 y=0.797016143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274547576904297 × 217)
    floor (0.274547576904297 × 131072)
    floor (35985.5)     		tx = 35985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797016143798828 × 217)
    floor (0.797016143798828 × 131072)
    floor (104466.5)     		ty = 104466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35985 / 104466 ti = "17/35985/104466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35985/104466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35985 ÷ 217
    35985 ÷ 131072     		x = 0.274543762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104466 ÷ 217
    104466 ÷ 131072     		y = 0.797012329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274543762207031 × 2 - 1) × π
    -0.450912475585938 × 3.1415926535     		Λ = -1.41658332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797012329101562 × 2 - 1) × π
    -0.594024658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.86618350220879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41658332} λ = -1.41658332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86618350220879))-π/2
    2×atan(0.154712998315409)-π/2
    2×0.153496019710902-π/2
    0.306992039421805-1.57079632675     		φ = -1.26380429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41658332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.164246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26380429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.410652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35985 KachelY 104466 -1.41658332 -1.26380429 -81.164246 -72.410652
    Oben rechts KachelX + 1 35986 KachelY 104466 -1.41653538 -1.26380429 -81.161499 -72.410652
    Unten links KachelX 35985 KachelY + 1 104467 -1.41658332 -1.26381877 -81.164246 -72.411482
    Unten rechts KachelX + 1 35986 KachelY + 1 104467 -1.41653538 -1.26381877 -81.161499 -72.411482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26380429--1.26381877) × R
    1.44800000001499e-05 × 6371000     		dl = 92.2520800009552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26380429--1.26381877) × R
    1.44800000001499e-05 × 6371000     		dr = 92.2520800009552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41658332--1.41653538) × cos(-1.26380429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302192676365729 × 6371000     		do = 92.2974218015229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41658332--1.41653538) × cos(-1.26381877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302178873319439 × 6371000     		du = 92.2932059958953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26380429)-sin(-1.26381877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302192676365729-0.302178873319439)×R²
    abs(-1.41653538--1.41658332)×1.38030462907834e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38030462907834e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38030462907834e-05×40589641000000     		ar = 8514.43468148769m²