Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35984 / 104914
↖ ↑ ↗
← S 72.778707°
W 81.166992°		 ← 90.43 m → S 72.778707°
W 81.164246°		 →
↑
90.47 m
↓
↑
90.47 m
↓
S 72.779521°
W 81.166992°		 ← 90.42 m →
8 180 m²		 S 72.779521°
W 81.164246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274539947509766 y=0.800434112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274539947509766 × 217)
    floor (0.274539947509766 × 131072)
    floor (35984.5)     		tx = 35984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800434112548828 × 217)
    floor (0.800434112548828 × 131072)
    floor (104914.5)     		ty = 104914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35984 / 104914 ti = "17/35984/104914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35984/104914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35984 ÷ 217
    35984 ÷ 131072     		x = 0.2745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104914 ÷ 217
    104914 ÷ 131072     		y = 0.800430297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41663126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800430297851562 × 2 - 1) × π
    -0.600860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88765923323857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41663126} λ = -1.41663126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88765923323857))-π/2
    2×atan(0.151425846903701)-π/2
    2×0.150284126384123-π/2
    0.300568252768246-1.57079632675     		φ = -1.27022807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41663126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.166992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27022807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.778707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35984 KachelY 104914 -1.41663126 -1.27022807 -81.166992 -72.778707
    Oben rechts KachelX + 1 35985 KachelY 104914 -1.41658332 -1.27022807 -81.164246 -72.778707
    Unten links KachelX 35984 KachelY + 1 104915 -1.41663126 -1.27024227 -81.166992 -72.779521
    Unten rechts KachelX + 1 35985 KachelY + 1 104915 -1.41658332 -1.27024227 -81.164246 -72.779521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27022807--1.27024227) × R
    1.42000000000753e-05 × 6371000     		dl = 90.4682000004795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27022807--1.27024227) × R
    1.42000000000753e-05 × 6371000     		dr = 90.4682000004795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41663126--1.41658332) × cos(-1.27022807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296063035369412 × 6371000     		do = 90.4252716642896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41663126--1.41658332) × cos(-1.27024227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296049471948234 × 6371000     		du = 90.4211290463392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27022807)-sin(-1.27024227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296063035369412-0.296049471948234)×R²
    abs(-1.41658332--1.41663126)×1.35634211786972e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35634211786972e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35634211786972e-05×40589641000000     		ar = 8180.4241746215m²