Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35984 / 104912
↖ ↑ ↗
← S 72.777081°
W 81.166992°		 ← 90.43 m → S 72.777081°
W 81.164246°		 →
↑
90.40 m
↓
↑
90.40 m
↓
S 72.777894°
W 81.166992°		 ← 90.43 m →
8 175 m²		 S 72.777894°
W 81.164246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274539947509766 y=0.800418853759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274539947509766 × 217)
    floor (0.274539947509766 × 131072)
    floor (35984.5)     		tx = 35984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800418853759766 × 217)
    floor (0.800418853759766 × 131072)
    floor (104912.5)     		ty = 104912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35984 / 104912 ti = "17/35984/104912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35984/104912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35984 ÷ 217
    35984 ÷ 131072     		x = 0.2745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104912 ÷ 217
    104912 ÷ 131072     		y = 0.8004150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41663126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8004150390625 × 2 - 1) × π
    -0.600830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88756335943933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41663126} λ = -1.41663126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88756335943933))-π/2
    2×atan(0.151440365370906)-π/2
    2×0.1502983193778-π/2
    0.300596638755601-1.57079632675     		φ = -1.27019969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41663126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.166992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27019969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.777081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35984 KachelY 104912 -1.41663126 -1.27019969 -81.166992 -72.777081
    Oben rechts KachelX + 1 35985 KachelY 104912 -1.41658332 -1.27019969 -81.164246 -72.777081
    Unten links KachelX 35984 KachelY + 1 104913 -1.41663126 -1.27021388 -81.166992 -72.777894
    Unten rechts KachelX + 1 35985 KachelY + 1 104913 -1.41658332 -1.27021388 -81.164246 -72.777894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27019969--1.27021388) × R
    1.4189999999914e-05 × 6371000     		dl = 90.4044899994521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27019969--1.27021388) × R
    1.4189999999914e-05 × 6371000     		dr = 90.4044899994521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41663126--1.41658332) × cos(-1.27019969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296090142929472 × 6371000     		do = 90.4335510108805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41663126--1.41658332) × cos(-1.27021388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296076589179251 × 6371000     		du = 90.4294113466893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27019969)-sin(-1.27021388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296090142929472-0.296076589179251)×R²
    abs(-1.41658332--1.41663126)×1.3553750221551e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3553750221551e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3553750221551e-05×40589641000000     		ar = 8175.41193612928m²