Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35982 / 104464
↖ ↑ ↗
← S 72.408992°
W 81.172485°		 ← 92.31 m → S 72.408992°
W 81.169739°		 →
↑
92.32 m
↓
↑
92.32 m
↓
S 72.409822°
W 81.172485°		 ← 92.30 m →
8 521 m²		 S 72.409822°
W 81.169739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274524688720703 y=0.797000885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274524688720703 × 217)
    floor (0.274524688720703 × 131072)
    floor (35982.5)     		tx = 35982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797000885009766 × 217)
    floor (0.797000885009766 × 131072)
    floor (104464.5)     		ty = 104464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35982 / 104464 ti = "17/35982/104464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35982/104464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35982 ÷ 217
    35982 ÷ 131072     		x = 0.274520874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104464 ÷ 217
    104464 ÷ 131072     		y = 0.7969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274520874023438 × 2 - 1) × π
    -0.450958251953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41672713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7969970703125 × 2 - 1) × π
    -0.593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.86608762840955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41672713} λ = -1.41672713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86608762840955))-π/2
    2×atan(0.154727831949417)-π/2
    2×0.153510506552989-π/2
    0.307021013105979-1.57079632675     		φ = -1.26377531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41672713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.172485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26377531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.408992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35982 KachelY 104464 -1.41672713 -1.26377531 -81.172485 -72.408992
    Oben rechts KachelX + 1 35983 KachelY 104464 -1.41667919 -1.26377531 -81.169739 -72.408992
    Unten links KachelX 35982 KachelY + 1 104465 -1.41672713 -1.26378980 -81.172485 -72.409822
    Unten rechts KachelX + 1 35983 KachelY + 1 104465 -1.41667919 -1.26378980 -81.169739 -72.409822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26377531--1.26378980) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dl = 92.315790000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26377531--1.26378980) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dr = 92.315790000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41672713--1.41667919) × cos(-1.26377531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302220301332987 × 6371000     		do = 92.3058591775901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41672713--1.41667919) × cos(-1.26378980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302206488881084 × 6371000     		du = 92.3016404992463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26377531)-sin(-1.26378980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302220301332987-0.302206488881084)×R²
    abs(-1.41667919--1.41672713)×1.38124519034055e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38124519034055e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38124519034055e-05×40589641000000     		ar = 8521.09358663073m²