Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3598 / 5322
↖ ↑ ↗
← S 47.338823°
W 21.884766°		 ← 3 311.39 m → S 47.338823°
W 21.840821°		 →
↑
3 310.44 m
↓
↑
3 310.44 m
↓
S 47.368594°
W 21.884766°		 ← 3 309.52 m →
10 959 047 m²		 S 47.368594°
W 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43927001953125 y=0.64971923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43927001953125 × 213)
    floor (0.43927001953125 × 8192)
    floor (3598.5)     		tx = 3598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64971923828125 × 213)
    floor (0.64971923828125 × 8192)
    floor (5322.5)     		ty = 5322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3598 / 5322 ti = "13/3598/5322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3598/5322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3598 ÷ 213
    3598 ÷ 8192     		x = 0.439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5322 ÷ 213
    5322 ÷ 8192     		y = 0.649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.12158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38196122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.29931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.940330222947022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38196122} λ = -0.38196122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940330222947022))-π/2
    2×atan(0.390498862379631)-π/2
    2×0.372289003385326-π/2
    0.744578006770651-1.57079632675     		φ = -0.82621832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38196122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.884766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82621832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.338823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3598 KachelY 5322 -0.38196122 -0.82621832 -21.884766 -47.338823
    Oben rechts KachelX + 1 3599 KachelY 5322 -0.38119423 -0.82621832 -21.840821 -47.338823
    Unten links KachelX 3598 KachelY + 1 5323 -0.38196122 -0.82673793 -21.884766 -47.368594
    Unten rechts KachelX + 1 3599 KachelY + 1 5323 -0.38119423 -0.82673793 -21.840821 -47.368594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82621832--0.82673793) × R
    0.000519610000000004 × 6371000     		dl = 3310.43531000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82621832--0.82673793) × R
    0.000519610000000004 × 6371000     		dr = 3310.43531000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38196122--0.38119423) × cos(-0.82621832) × R
    0.000766989999999967 × 0.677661547998942 × 6371000     		do = 3311.3886071877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38196122--0.38119423) × cos(-0.82673793) × R
    0.000766989999999967 × 0.677279348882573 × 6371000     		du = 3309.52099377012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82621832)-sin(-0.82673793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677661547998942-0.677279348882573)×R²
    abs(-0.38119423--0.38196122)×0.000382199116368942×R²
    0.000766989999999967×0.000382199116368942×6371000²
    0.000766989999999967×0.000382199116368942×40589641000000     		ar = 10959046.710238m²