Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35977 / 104835
↖ ↑ ↗
← S 72.714352°
W 81.186218°		 ← 90.75 m → S 72.714352°
W 81.183472°		 →
↑
90.72 m
↓
↑
90.72 m
↓
S 72.715168°
W 81.186218°		 ← 90.75 m →
8 233 m²		 S 72.715168°
W 81.183472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274486541748047 y=0.799831390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274486541748047 × 217)
    floor (0.274486541748047 × 131072)
    floor (35977.5)     		tx = 35977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799831390380859 × 217)
    floor (0.799831390380859 × 131072)
    floor (104835.5)     		ty = 104835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35977 / 104835 ti = "17/35977/104835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35977/104835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35977 ÷ 217
    35977 ÷ 131072     		x = 0.274482727050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104835 ÷ 217
    104835 ÷ 131072     		y = 0.799827575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274482727050781 × 2 - 1) × π
    -0.451034545898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.41696682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799827575683594 × 2 - 1) × π
    -0.599655151367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.88387221816859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41696682} λ = -1.41696682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88387221816859))-π/2
    2×atan(0.152000386075516)-π/2
    2×0.150845738977977-π/2
    0.301691477955953-1.57079632675     		φ = -1.26910485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41696682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.186218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26910485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.714352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35977 KachelY 104835 -1.41696682 -1.26910485 -81.186218 -72.714352
    Oben rechts KachelX + 1 35978 KachelY 104835 -1.41691888 -1.26910485 -81.183472 -72.714352
    Unten links KachelX 35977 KachelY + 1 104836 -1.41696682 -1.26911909 -81.186218 -72.715168
    Unten rechts KachelX + 1 35978 KachelY + 1 104836 -1.41691888 -1.26911909 -81.183472 -72.715168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26910485--1.26911909) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dl = 90.7230400003454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26910485--1.26911909) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dr = 90.7230400003454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41696682--1.41691888) × cos(-1.26910485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297135712638052 × 6371000     		do = 90.752894912845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41696682--1.41691888) × cos(-1.26911909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297122115753865 × 6371000     		du = 90.7487420744304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26910485)-sin(-1.26911909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297135712638052-0.297122115753865)×R²
    abs(-1.41691888--1.41696682)×1.35968841874501e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35968841874501e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35968841874501e-05×40589641000000     		ar = 8233.19013657849m²