Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35975 / 104317
↖ ↑ ↗
← S 72.286560°
W 81.191711°		 ← 92.93 m → S 72.286560°
W 81.188965°		 →
↑
92.95 m
↓
↑
92.95 m
↓
S 72.287396°
W 81.191711°		 ← 92.92 m →
8 638 m²		 S 72.287396°
W 81.188965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274471282958984 y=0.795879364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274471282958984 × 217)
    floor (0.274471282958984 × 131072)
    floor (35975.5)     		tx = 35975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795879364013672 × 217)
    floor (0.795879364013672 × 131072)
    floor (104317.5)     		ty = 104317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35975 / 104317 ti = "17/35975/104317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35975/104317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35975 ÷ 217
    35975 ÷ 131072     		x = 0.274467468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104317 ÷ 217
    104317 ÷ 131072     		y = 0.795875549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274467468261719 × 2 - 1) × π
    -0.451065063476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.41706269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795875549316406 × 2 - 1) × π
    -0.591751098632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.8590409041654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41706269} λ = -1.41706269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8590409041654))-π/2
    2×atan(0.155822006961128)-π/2
    2×0.154578921658767-π/2
    0.309157843317534-1.57079632675     		φ = -1.26163848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41706269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.191711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26163848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.286560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35975 KachelY 104317 -1.41706269 -1.26163848 -81.191711 -72.286560
    Oben rechts KachelX + 1 35976 KachelY 104317 -1.41701475 -1.26163848 -81.188965 -72.286560
    Unten links KachelX 35975 KachelY + 1 104318 -1.41706269 -1.26165307 -81.191711 -72.287396
    Unten rechts KachelX + 1 35976 KachelY + 1 104318 -1.41701475 -1.26165307 -81.188965 -72.287396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26163848--1.26165307) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dl = 92.9528899995253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26163848--1.26165307) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dr = 92.9528899995253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41706269--1.41701475) × cos(-1.26163848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304256517592892 × 6371000     		do = 92.9277720355713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41706269--1.41701475) × cos(-1.26165307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304242619270393 × 6371000     		du = 92.923527130137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26163848)-sin(-1.26165307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304256517592892-0.304242619270393)×R²
    abs(-1.41701475--1.41706269)×1.38983224998723e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38983224998723e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38983224998723e-05×40589641000000     		ar = 8637.70768402253m²