Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35974 / 104836
↖ ↑ ↗
← S 72.715168°
W 81.194458°		 ← 90.75 m → S 72.715168°
W 81.191711°		 →
↑
90.79 m
↓
↑
90.79 m
↓
S 72.715984°
W 81.194458°		 ← 90.74 m →
8 239 m²		 S 72.715984°
W 81.191711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274463653564453 y=0.799839019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274463653564453 × 217)
    floor (0.274463653564453 × 131072)
    floor (35974.5)     		tx = 35974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799839019775391 × 217)
    floor (0.799839019775391 × 131072)
    floor (104836.5)     		ty = 104836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35974 / 104836 ti = "17/35974/104836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35974/104836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35974 ÷ 217
    35974 ÷ 131072     		x = 0.274459838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104836 ÷ 217
    104836 ÷ 131072     		y = 0.799835205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274459838867188 × 2 - 1) × π
    -0.451080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41711063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799835205078125 × 2 - 1) × π
    -0.59967041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88392015506821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41711063} λ = -1.41711063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88392015506821))-π/2
    2×atan(0.151993099822908)-π/2
    2×0.150838617258523-π/2
    0.301677234517047-1.57079632675     		φ = -1.26911909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41711063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.194458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26911909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.715168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35974 KachelY 104836 -1.41711063 -1.26911909 -81.194458 -72.715168
    Oben rechts KachelX + 1 35975 KachelY 104836 -1.41706269 -1.26911909 -81.191711 -72.715168
    Unten links KachelX 35974 KachelY + 1 104837 -1.41711063 -1.26913334 -81.194458 -72.715984
    Unten rechts KachelX + 1 35975 KachelY + 1 104837 -1.41706269 -1.26913334 -81.191711 -72.715984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26911909--1.26913334) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dl = 90.7867499999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26911909--1.26913334) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dr = 90.7867499999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41711063--1.41706269) × cos(-1.26911909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297122115753865 × 6371000     		do = 90.7487420744304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41711063--1.41706269) × cos(-1.26913334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297108509260991 × 6371000     		du = 90.7445863012754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26911909)-sin(-1.26913334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297122115753865-0.297108509260991)×R²
    abs(-1.41706269--1.41711063)×1.36064928743518e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36064928743518e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36064928743518e-05×40589641000000     		ar = 8238.59471500109m²