Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35973 / 47827
↖ ↑ ↗
← S 63.438230°
E 17.605591°		 ← 273.12 m → S 63.438230°
E 17.611084°		 →
↑
273.12 m
↓
↑
273.12 m
↓
S 63.440687°
E 17.605591°		 ← 273.10 m →
74 593 m²		 S 63.440687°
E 17.611084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548912048339844 y=0.729789733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548912048339844 × 216)
    floor (0.548912048339844 × 65536)
    floor (35973.5)     		tx = 35973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729789733886719 × 216)
    floor (0.729789733886719 × 65536)
    floor (47827.5)     		ty = 47827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35973 / 47827 ti = "16/35973/47827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35973/47827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35973 ÷ 216
    35973 ÷ 65536     		x = 0.548904418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47827 ÷ 216
    47827 ÷ 65536     		y = 0.729782104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548904418945312 × 2 - 1) × π
    0.097808837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30727553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729782104492188 × 2 - 1) × π
    -0.459564208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44376354275685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30727553} λ = 0.30727553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44376354275685))-π/2
    2×atan(0.236037746781487)-π/2
    2×0.231795169359465-π/2
    0.46359033871893-1.57079632675     		φ = -1.10720599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30727553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.605591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10720599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.438230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35973 KachelY 47827 0.30727553 -1.10720599 17.605591 -63.438230
    Oben rechts KachelX + 1 35974 KachelY 47827 0.30737140 -1.10720599 17.611084 -63.438230
    Unten links KachelX 35973 KachelY + 1 47828 0.30727553 -1.10724886 17.605591 -63.440687
    Unten rechts KachelX + 1 35974 KachelY + 1 47828 0.30737140 -1.10724886 17.611084 -63.440687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10720599--1.10724886) × R
    4.28699999999171e-05 × 6371000     		dl = 273.124769999472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10720599--1.10724886) × R
    4.28699999999171e-05 × 6371000     		dr = 273.124769999472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30727553-0.30737140) × cos(-1.10720599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.447162368948278 × 6371000     		do = 273.12130615783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30727553-0.30737140) × cos(-1.10724886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.447124023345743 × 6371000     		du = 273.097885132769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10720599)-sin(-1.10724886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447162368948278-0.447124023345743)×R²
    abs(0.30737140-0.30727553)×3.83456025346285e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83456025346285e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83456025346285e-05×40589641000000     		ar = 74592.9955066457m²