Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35973 / 104837
↖ ↑ ↗
← S 72.715984°
W 81.197204°		 ← 90.73 m → S 72.715984°
W 81.194458°		 →
↑
90.72 m
↓
↑
90.72 m
↓
S 72.716800°
W 81.197204°		 ← 90.72 m →
8 231 m²		 S 72.716800°
W 81.194458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274456024169922 y=0.799846649169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274456024169922 × 217)
    floor (0.274456024169922 × 131072)
    floor (35973.5)     		tx = 35973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799846649169922 × 217)
    floor (0.799846649169922 × 131072)
    floor (104837.5)     		ty = 104837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35973 / 104837 ti = "17/35973/104837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35973/104837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35973 ÷ 217
    35973 ÷ 131072     		x = 0.274452209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104837 ÷ 217
    104837 ÷ 131072     		y = 0.799842834472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274452209472656 × 2 - 1) × π
    -0.451095581054688 × 3.1415926535     		Λ = -1.41715856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799842834472656 × 2 - 1) × π
    -0.599685668945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.88396809196783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41715856} λ = -1.41715856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88396809196783))-π/2
    2×atan(0.151985813919572)-π/2
    2×0.150831495865039-π/2
    0.301662991730077-1.57079632675     		φ = -1.26913334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41715856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.197204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26913334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.715984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35973 KachelY 104837 -1.41715856 -1.26913334 -81.197204 -72.715984
    Oben rechts KachelX + 1 35974 KachelY 104837 -1.41711063 -1.26913334 -81.194458 -72.715984
    Unten links KachelX 35973 KachelY + 1 104838 -1.41715856 -1.26914758 -81.197204 -72.716800
    Unten rechts KachelX + 1 35974 KachelY + 1 104838 -1.41711063 -1.26914758 -81.194458 -72.716800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26913334--1.26914758) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dl = 90.7230400003454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26913334--1.26914758) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dr = 90.7230400003454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41715856--1.41711063) × cos(-1.26913334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.297108509260991 × 6371000     		do = 90.7256575182654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41715856--1.41711063) × cos(-1.26914758) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.297094912256264 × 6371000     		du = 90.7215055093002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26913334)-sin(-1.26914758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297108509260991-0.297094912256264)×R²
    abs(-1.41711063--1.41715856)×1.35970047264733e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35970047264733e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35970047264733e-05×40589641000000     		ar = 8230.71911482598m²