Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35972 / 104842
↖ ↑ ↗
← S 72.720063°
W 81.199951°		 ← 90.72 m → S 72.720063°
W 81.197204°		 →
↑
90.72 m
↓
↑
90.72 m
↓
S 72.720879°
W 81.199951°		 ← 90.72 m →
8 231 m²		 S 72.720879°
W 81.197204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274448394775391 y=0.799884796142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274448394775391 × 217)
    floor (0.274448394775391 × 131072)
    floor (35972.5)     		tx = 35972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799884796142578 × 217)
    floor (0.799884796142578 × 131072)
    floor (104842.5)     		ty = 104842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35972 / 104842 ti = "17/35972/104842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35972/104842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35972 ÷ 217
    35972 ÷ 131072     		x = 0.274444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104842 ÷ 217
    104842 ÷ 131072     		y = 0.799880981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.45111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41720650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799880981445312 × 2 - 1) × π
    -0.599761962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88420777646593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41720650} λ = -1.41720650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88420777646593))-π/2
    2×atan(0.151949389641386)-π/2
    2×0.150795893786665-π/2
    0.301591787573331-1.57079632675     		φ = -1.26920454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41720650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.199951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26920454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.720063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35972 KachelY 104842 -1.41720650 -1.26920454 -81.199951 -72.720063
    Oben rechts KachelX + 1 35973 KachelY 104842 -1.41715856 -1.26920454 -81.197204 -72.720063
    Unten links KachelX 35972 KachelY + 1 104843 -1.41720650 -1.26921878 -81.199951 -72.720879
    Unten rechts KachelX + 1 35973 KachelY + 1 104843 -1.41715856 -1.26921878 -81.197204 -72.720879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26920454--1.26921878) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dl = 90.7230400003454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26920454--1.26921878) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dr = 90.7230400003454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41720650--1.41715856) × cos(-1.26920454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297040523634944 × 6371000     		do = 90.7238217411308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41720650--1.41715856) × cos(-1.26921878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297026926329024 × 6371000     		du = 90.7196687739083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26920454)-sin(-1.26921878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297040523634944-0.297026926329024)×R²
    abs(-1.41715856--1.41720650)×1.35973059198768e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35973059198768e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35973059198768e-05×40589641000000     		ar = 8230.55252404509m²