Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35972 / 104476
↖ ↑ ↗
← S 72.418950°
W 81.199951°		 ← 92.26 m → S 72.418950°
W 81.197204°		 →
↑
92.25 m
↓
↑
92.25 m
↓
S 72.419780°
W 81.199951°		 ← 92.25 m →
8 511 m²		 S 72.419780°
W 81.197204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274448394775391 y=0.797092437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274448394775391 × 217)
    floor (0.274448394775391 × 131072)
    floor (35972.5)     		tx = 35972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797092437744141 × 217)
    floor (0.797092437744141 × 131072)
    floor (104476.5)     		ty = 104476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35972 / 104476 ti = "17/35972/104476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35972/104476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35972 ÷ 217
    35972 ÷ 131072     		x = 0.274444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104476 ÷ 217
    104476 ÷ 131072     		y = 0.797088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.45111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41720650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797088623046875 × 2 - 1) × π
    -0.59417724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86666287120499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41720650} λ = -1.41720650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86666287120499))-π/2
    2×atan(0.154638851473976)-π/2
    2×0.153423605356974-π/2
    0.306847210713948-1.57079632675     		φ = -1.26394912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41720650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.199951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26394912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.418950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35972 KachelY 104476 -1.41720650 -1.26394912 -81.199951 -72.418950
    Oben rechts KachelX + 1 35973 KachelY 104476 -1.41715856 -1.26394912 -81.197204 -72.418950
    Unten links KachelX 35972 KachelY + 1 104477 -1.41720650 -1.26396360 -81.199951 -72.419780
    Unten rechts KachelX + 1 35973 KachelY + 1 104477 -1.41715856 -1.26396360 -81.197204 -72.419780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26394912--1.26396360) × R
    1.44800000001499e-05 × 6371000     		dl = 92.2520800009552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26394912--1.26396360) × R
    1.44800000001499e-05 × 6371000     		dr = 92.2520800009552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41720650--1.41715856) × cos(-1.26394912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302054614453344 × 6371000     		do = 92.2552541397667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41720650--1.41715856) × cos(-1.26396360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302040810773472 × 6371000     		du = 92.2510381406273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26394912)-sin(-1.26396360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302054614453344-0.302040810773472)×R²
    abs(-1.41715856--1.41720650)×1.38036798713603e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38036798713603e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38036798713603e-05×40589641000000     		ar = 8510.54461827898m²