Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35971 / 104843
↖ ↑ ↗
← S 72.720879°
W 81.202698°		 ← 90.72 m → S 72.720879°
W 81.199951°		 →
↑
90.72 m
↓
↑
90.72 m
↓
S 72.721695°
W 81.202698°		 ← 90.72 m →
8 230 m²		 S 72.721695°
W 81.199951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274440765380859 y=0.799892425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274440765380859 × 217)
    floor (0.274440765380859 × 131072)
    floor (35971.5)     		tx = 35971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799892425537109 × 217)
    floor (0.799892425537109 × 131072)
    floor (104843.5)     		ty = 104843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35971 / 104843 ti = "17/35971/104843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35971/104843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35971 ÷ 217
    35971 ÷ 131072     		x = 0.274436950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104843 ÷ 217
    104843 ÷ 131072     		y = 0.799888610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274436950683594 × 2 - 1) × π
    -0.451126098632812 × 3.1415926535     		Λ = -1.41725444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799888610839844 × 2 - 1) × π
    -0.599777221679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.88425571336555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41725444} λ = -1.41725444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88425571336555))-π/2
    2×atan(0.151942105833331)-π/2
    2×0.150788774348707-π/2
    0.301577548697413-1.57079632675     		φ = -1.26921878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41725444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.202698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26921878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.720879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35971 KachelY 104843 -1.41725444 -1.26921878 -81.202698 -72.720879
    Oben rechts KachelX + 1 35972 KachelY 104843 -1.41720650 -1.26921878 -81.199951 -72.720879
    Unten links KachelX 35971 KachelY + 1 104844 -1.41725444 -1.26923302 -81.202698 -72.721695
    Unten rechts KachelX + 1 35972 KachelY + 1 104844 -1.41720650 -1.26923302 -81.199951 -72.721695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26921878--1.26923302) × R
    1.42399999998322e-05 × 6371000     		dl = 90.7230399989307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26921878--1.26923302) × R
    1.42399999998322e-05 × 6371000     		dr = 90.7230399989307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41725444--1.41720650) × cos(-1.26921878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297026926329024 × 6371000     		do = 90.7196687739083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41725444--1.41720650) × cos(-1.26923302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297013328962874 × 6371000     		du = 90.7155157882898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26921878)-sin(-1.26923302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297026926329024-0.297013328962874)×R²
    abs(-1.41720650--1.41725444)×1.3597366150031e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3597366150031e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3597366150031e-05×40589641000000     		ar = 8230.17575330187m²