Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35971 / 104475
↖ ↑ ↗
← S 72.418120°
W 81.202698°		 ← 92.26 m → S 72.418120°
W 81.199951°		 →
↑
92.25 m
↓
↑
92.25 m
↓
S 72.418950°
W 81.202698°		 ← 92.26 m →
8 511 m²		 S 72.418950°
W 81.199951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274440765380859 y=0.797084808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274440765380859 × 217)
    floor (0.274440765380859 × 131072)
    floor (35971.5)     		tx = 35971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797084808349609 × 217)
    floor (0.797084808349609 × 131072)
    floor (104475.5)     		ty = 104475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35971 / 104475 ti = "17/35971/104475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35971/104475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35971 ÷ 217
    35971 ÷ 131072     		x = 0.274436950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104475 ÷ 217
    104475 ÷ 131072     		y = 0.797080993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274436950683594 × 2 - 1) × π
    -0.451126098632812 × 3.1415926535     		Λ = -1.41725444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797080993652344 × 2 - 1) × π
    -0.594161987304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.86661493430537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41725444} λ = -1.41725444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86661493430537))-π/2
    2×atan(0.154646264558755)-π/2
    2×0.153430845303353-π/2
    0.306861690606706-1.57079632675     		φ = -1.26393464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41725444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.202698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26393464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.418120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35971 KachelY 104475 -1.41725444 -1.26393464 -81.202698 -72.418120
    Oben rechts KachelX + 1 35972 KachelY 104475 -1.41720650 -1.26393464 -81.199951 -72.418120
    Unten links KachelX 35971 KachelY + 1 104476 -1.41725444 -1.26394912 -81.202698 -72.418950
    Unten rechts KachelX + 1 35972 KachelY + 1 104476 -1.41720650 -1.26394912 -81.199951 -72.418950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26393464--1.26394912) × R
    1.44799999999279e-05 × 6371000     		dl = 92.2520799995405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26393464--1.26394912) × R
    1.44799999999279e-05 × 6371000     		dr = 92.2520799995405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41725444--1.41720650) × cos(-1.26393464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302068418069883 × 6371000     		do = 92.2594701195629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41725444--1.41720650) × cos(-1.26394912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302054614453344 × 6371000     		du = 92.2552541397667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26393464)-sin(-1.26394912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302068418069883-0.302054614453344)×R²
    abs(-1.41720650--1.41725444)×1.38036165392985e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38036165392985e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38036165392985e-05×40589641000000     		ar = 8510.93355199059m²