Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35970 / 47902
↖ ↑ ↗
← S 63.621864°
E 17.589112°		 ← 271.37 m → S 63.621864°
E 17.594605°		 →
↑
271.40 m
↓
↑
271.40 m
↓
S 63.624305°
E 17.589112°		 ← 271.35 m →
73 648 m²		 S 63.624305°
E 17.594605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548866271972656 y=0.730934143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548866271972656 × 216)
    floor (0.548866271972656 × 65536)
    floor (35970.5)     		tx = 35970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730934143066406 × 216)
    floor (0.730934143066406 × 65536)
    floor (47902.5)     		ty = 47902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35970 / 47902 ti = "16/35970/47902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35970/47902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35970 ÷ 216
    35970 ÷ 65536     		x = 0.548858642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47902 ÷ 216
    47902 ÷ 65536     		y = 0.730926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548858642578125 × 2 - 1) × π
    0.09771728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30698791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730926513671875 × 2 - 1) × π
    -0.46185302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45095407769986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30698791} λ = 0.30698791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45095407769986))-π/2
    2×atan(0.234346596539408)-π/2
    2×0.230192662650896-π/2
    0.460385325301792-1.57079632675     		φ = -1.11041100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30698791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.589112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11041100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.621864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35970 KachelY 47902 0.30698791 -1.11041100 17.589112 -63.621864
    Oben rechts KachelX + 1 35971 KachelY 47902 0.30708378 -1.11041100 17.594605 -63.621864
    Unten links KachelX 35970 KachelY + 1 47903 0.30698791 -1.11045360 17.589112 -63.624305
    Unten rechts KachelX + 1 35971 KachelY + 1 47903 0.30708378 -1.11045360 17.594605 -63.624305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11041100--1.11045360) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dl = 271.404600000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11041100--1.11045360) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dr = 271.404600000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30698791-0.30708378) × cos(-1.11041100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.444293347035923 × 6371000     		do = 271.368942661902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30698791-0.30708378) × cos(-1.11045360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.444255182086604 × 6371000     		du = 271.345631977615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11041100)-sin(-1.11045360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444293347035923-0.444255182086604)×R²
    abs(0.30708378-0.30698791)×3.8164949318964e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8164949318964e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8164949318964e-05×40589641000000     		ar = 73647.6160331724m²