Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35970 / 104473
↖ ↑ ↗
← S 72.416461°
W 81.205444°		 ← 92.25 m → S 72.416461°
W 81.202698°		 →
↑
92.32 m
↓
↑
92.32 m
↓
S 72.417291°
W 81.205444°		 ← 92.24 m →
8 516 m²		 S 72.417291°
W 81.202698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274433135986328 y=0.797069549560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274433135986328 × 217)
    floor (0.274433135986328 × 131072)
    floor (35970.5)     		tx = 35970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797069549560547 × 217)
    floor (0.797069549560547 × 131072)
    floor (104473.5)     		ty = 104473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35970 / 104473 ti = "17/35970/104473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35970/104473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35970 ÷ 217
    35970 ÷ 131072     		x = 0.274429321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104473 ÷ 217
    104473 ÷ 131072     		y = 0.797065734863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274429321289062 × 2 - 1) × π
    -0.451141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41730237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797065734863281 × 2 - 1) × π
    -0.594131469726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.86651906050613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41730237} λ = -1.41730237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86651906050613))-π/2
    2×atan(0.154661091794437)-π/2
    2×0.153445326188692-π/2
    0.306890652377384-1.57079632675     		φ = -1.26390567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41730237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.205444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26390567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.416461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35970 KachelY 104473 -1.41730237 -1.26390567 -81.205444 -72.416461
    Oben rechts KachelX + 1 35971 KachelY 104473 -1.41725444 -1.26390567 -81.202698 -72.416461
    Unten links KachelX 35970 KachelY + 1 104474 -1.41730237 -1.26392016 -81.205444 -72.417291
    Unten rechts KachelX + 1 35971 KachelY + 1 104474 -1.41725444 -1.26392016 -81.202698 -72.417291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26390567--1.26392016) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dl = 92.315790000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26390567--1.26392016) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dr = 92.315790000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41730237--1.41725444) × cos(-1.26390567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.302096034645729 × 6371000     		do = 92.2486583944267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41730237--1.41725444) × cos(-1.26392016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.302082221623087 × 6371000     		du = 92.2444404217923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26390567)-sin(-1.26392016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302096034645729-0.302082221623087)×R²
    abs(-1.41725444--1.41730237)×1.38130226419175e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.38130226419175e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.38130226419175e-05×40589641000000     		ar = 8515.81308373633m²