Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3597 / 5355
↖ ↑ ↗
← S 48.312428°
W 21.928711°		 ← 3 249.85 m → S 48.312428°
W 21.884766°		 →
↑
3 248.89 m
↓
↑
3 248.89 m
↓
S 48.341646°
W 21.928711°		 ← 3 247.99 m →
10 555 394 m²		 S 48.341646°
W 21.884766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43914794921875 y=0.65374755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43914794921875 × 213)
    floor (0.43914794921875 × 8192)
    floor (3597.5)     		tx = 3597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65374755859375 × 213)
    floor (0.65374755859375 × 8192)
    floor (5355.5)     		ty = 5355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3597 / 5355 ti = "13/3597/5355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3597/5355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3597 ÷ 213
    3597 ÷ 8192     		x = 0.4390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5355 ÷ 213
    5355 ÷ 8192     		y = 0.6536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38272821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6536865234375 × 2 - 1) × π
    -0.307373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.965640905946411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38272821} λ = -0.38272821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965640905946411))-π/2
    2×atan(0.38073910357084)-π/2
    2×0.363792695127408-π/2
    0.727585390254817-1.57079632675     		φ = -0.84321094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38272821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84321094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.312428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3597 KachelY 5355 -0.38272821 -0.84321094 -21.928711 -48.312428
    Oben rechts KachelX + 1 3598 KachelY 5355 -0.38196122 -0.84321094 -21.884766 -48.312428
    Unten links KachelX 3597 KachelY + 1 5356 -0.38272821 -0.84372089 -21.928711 -48.341646
    Unten rechts KachelX + 1 3598 KachelY + 1 5356 -0.38196122 -0.84372089 -21.884766 -48.341646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84321094--0.84372089) × R
    0.000509949999999981 × 6371000     		dl = 3248.89144999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84321094--0.84372089) × R
    0.000509949999999981 × 6371000     		dr = 3248.89144999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38272821--0.38196122) × cos(-0.84321094) × R
    0.000766990000000023 × 0.665068384757071 × 6371000     		do = 3249.85219950666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38272821--0.38196122) × cos(-0.84372089) × R
    0.000766990000000023 × 0.664687476582563 × 6371000     		du = 3247.99089426782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84321094)-sin(-0.84372089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665068384757071-0.664687476582563)×R²
    abs(-0.38196122--0.38272821)×0.000380908174507422×R²
    0.000766990000000023×0.000380908174507422×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380908174507422×40589641000000     		ar = 10555393.664144m²