Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3597 / 2550
↖ ↑ ↗
← N 76.890745°
W100.964355°		 ← 554.16 m → N 76.890745°
W100.942383°		 →
↑
554.21 m
↓
↑
554.21 m
↓
N 76.885761°
W100.964355°		 ← 554.36 m →
307 178 m²		 N 76.885761°
W100.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219573974609375 y=0.155670166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219573974609375 × 214)
    floor (0.219573974609375 × 16384)
    floor (3597.5)     		tx = 3597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155670166015625 × 214)
    floor (0.155670166015625 × 16384)
    floor (2550.5)     		ty = 2550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3597 / 2550 ti = "14/3597/2550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3597/2550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3597 ÷ 214
    3597 ÷ 16384     		x = 0.21954345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2550 ÷ 214
    2550 ÷ 16384     		y = 0.1556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21954345703125 × 2 - 1) × π
    -0.5609130859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76216043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1556396484375 × 2 - 1) × π
    0.688720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16367990125085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76216043} λ = -1.76216043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16367990125085))-π/2
    2×atan(8.70310537171848)-π/2
    2×1.45639649978962-π/2
    2.91279299957923-1.57079632675     		φ = 1.34199667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76216043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.964355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34199667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.890745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3597 KachelY 2550 -1.76216043 1.34199667 -100.964355 76.890745
    Oben rechts KachelX + 1 3598 KachelY 2550 -1.76177693 1.34199667 -100.942383 76.890745
    Unten links KachelX 3597 KachelY + 1 2551 -1.76216043 1.34190968 -100.964355 76.885761
    Unten rechts KachelX + 1 3598 KachelY + 1 2551 -1.76177693 1.34190968 -100.942383 76.885761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34199667-1.34190968) × R
    8.6989999999787e-05 × 6371000     		dl = 554.213289998643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34199667-1.34190968) × R
    8.6989999999787e-05 × 6371000     		dr = 554.213289998643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76216043--1.76177693) × cos(1.34199667) × R
    0.000383500000000092 × 0.226808625736861 × 6371000     		do = 554.156638877551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76216043--1.76177693) × cos(1.34190968) × R
    0.000383500000000092 × 0.226893347862195 × 6371000     		du = 554.363638624855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34199667)-sin(1.34190968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226808625736861-0.226893347862195)×R²
    abs(-1.76177693--1.76216043)×8.47221253345576e-05×R²
    0.000383500000000092×8.47221253345576e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.47221253345576e-05×40589641000000     		ar = 307178.335206181m²