Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35967 / 47901
↖ ↑ ↗
← S 63.619423°
E 17.572632°		 ← 271.42 m → S 63.619423°
E 17.578125°		 →
↑
271.40 m
↓
↑
271.40 m
↓
S 63.621864°
E 17.572632°		 ← 271.40 m →
73 662 m²		 S 63.621864°
E 17.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548820495605469 y=0.730918884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548820495605469 × 216)
    floor (0.548820495605469 × 65536)
    floor (35967.5)     		tx = 35967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730918884277344 × 216)
    floor (0.730918884277344 × 65536)
    floor (47901.5)     		ty = 47901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35967 / 47901 ti = "16/35967/47901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35967/47901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35967 ÷ 216
    35967 ÷ 65536     		x = 0.548812866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47901 ÷ 216
    47901 ÷ 65536     		y = 0.730911254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548812866210938 × 2 - 1) × π
    0.097625732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30670028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730911254882812 × 2 - 1) × π
    -0.461822509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45085820390062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30670028} λ = 0.30670028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45085820390062))-π/2
    2×atan(0.234369065315023)-π/2
    2×0.230213961611091-π/2
    0.460427923222183-1.57079632675     		φ = -1.11036840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30670028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.572632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11036840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.619423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35967 KachelY 47901 0.30670028 -1.11036840 17.572632 -63.619423
    Oben rechts KachelX + 1 35968 KachelY 47901 0.30679616 -1.11036840 17.578125 -63.619423
    Unten links KachelX 35967 KachelY + 1 47902 0.30670028 -1.11041100 17.572632 -63.621864
    Unten rechts KachelX + 1 35968 KachelY + 1 47902 0.30679616 -1.11041100 17.578125 -63.621864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11036840--1.11041100) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dl = 271.404600000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11036840--1.11041100) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dr = 271.404600000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30670028-0.30679616) × cos(-1.11036840) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.444331511178956 × 6371000     		do = 271.420561214281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30670028-0.30679616) × cos(-1.11041100) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.444293347035923 × 6371000     		du = 271.397248591026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11036840)-sin(-1.11041100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444331511178956-0.444293347035923)×R²
    abs(0.30679616-0.30670028)×3.81641430332591e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.81641430332591e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.81641430332591e-05×40589641000000     		ar = 73661.6252827756m²