Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35967 / 104574
↖ ↑ ↗
← S 72.500071°
W 81.213684°		 ← 91.82 m → S 72.500071°
W 81.210938°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
S 72.500896°
W 81.213684°		 ← 91.82 m →
8 430 m²		 S 72.500896°
W 81.210938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274410247802734 y=0.797840118408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274410247802734 × 217)
    floor (0.274410247802734 × 131072)
    floor (35967.5)     		tx = 35967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797840118408203 × 217)
    floor (0.797840118408203 × 131072)
    floor (104574.5)     		ty = 104574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35967 / 104574 ti = "17/35967/104574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35967/104574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35967 ÷ 217
    35967 ÷ 131072     		x = 0.274406433105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104574 ÷ 217
    104574 ÷ 131072     		y = 0.797836303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274406433105469 × 2 - 1) × π
    -0.451187133789062 × 3.1415926535     		Λ = -1.41744618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797836303710938 × 2 - 1) × π
    -0.595672607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87136068736775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41744618} λ = -1.41744618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87136068736775))-π/2
    2×atan(0.153914090308413)-π/2
    2×0.152715693394579-π/2
    0.305431386789158-1.57079632675     		φ = -1.26536494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41744618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.213684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26536494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.500071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35967 KachelY 104574 -1.41744618 -1.26536494 -81.213684 -72.500071
    Oben rechts KachelX + 1 35968 KachelY 104574 -1.41739825 -1.26536494 -81.210938 -72.500071
    Unten links KachelX 35967 KachelY + 1 104575 -1.41744618 -1.26537935 -81.213684 -72.500896
    Unten rechts KachelX + 1 35968 KachelY + 1 104575 -1.41739825 -1.26537935 -81.210938 -72.500896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26536494--1.26537935) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dl = 91.8061099994216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26536494--1.26537935) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dr = 91.8061099994216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41744618--1.41739825) × cos(-1.26536494) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.300704624234726 × 6371000     		do = 91.8237744867592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41744618--1.41739825) × cos(-1.26537935) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.300690881136906 × 6371000     		du = 91.8195778665104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26536494)-sin(-1.26537935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300704624234726-0.300690881136906)×R²
    abs(-1.41739825--1.41744618)×1.37430978198738e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37430978198738e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37430978198738e-05×40589641000000     		ar = 8429.7909034971m²