Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35966 / 104314
↖ ↑ ↗
← S 72.284053°
W 81.216431°		 ← 92.94 m → S 72.284053°
W 81.213684°		 →
↑
92.89 m
↓
↑
92.89 m
↓
S 72.284889°
W 81.216431°		 ← 92.94 m →
8 633 m²		 S 72.284889°
W 81.213684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274402618408203 y=0.795856475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274402618408203 × 217)
    floor (0.274402618408203 × 131072)
    floor (35966.5)     		tx = 35966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795856475830078 × 217)
    floor (0.795856475830078 × 131072)
    floor (104314.5)     		ty = 104314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35966 / 104314 ti = "17/35966/104314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35966/104314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35966 ÷ 217
    35966 ÷ 131072     		x = 0.274398803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104314 ÷ 217
    104314 ÷ 131072     		y = 0.795852661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274398803710938 × 2 - 1) × π
    -0.451202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41749412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795852661132812 × 2 - 1) × π
    -0.591705322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.85889709346654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41749412} λ = -1.41749412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85889709346654))-π/2
    2×atan(0.155844417444242)-π/2
    2×0.154600800828344-π/2
    0.309201601656688-1.57079632675     		φ = -1.26159473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41749412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.216431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26159473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.284053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35966 KachelY 104314 -1.41749412 -1.26159473 -81.216431 -72.284053
    Oben rechts KachelX + 1 35967 KachelY 104314 -1.41744618 -1.26159473 -81.213684 -72.284053
    Unten links KachelX 35966 KachelY + 1 104315 -1.41749412 -1.26160931 -81.216431 -72.284889
    Unten rechts KachelX + 1 35967 KachelY + 1 104315 -1.41744618 -1.26160931 -81.213684 -72.284889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26159473--1.26160931) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dl = 92.8891799999125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26159473--1.26160931) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dr = 92.8891799999125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41749412--1.41744618) × cos(-1.26159473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304298193120245 × 6371000     		do = 92.9405008143527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41749412--1.41744618) × cos(-1.26160931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304284304517777 × 6371000     		du = 92.9362588776664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26159473)-sin(-1.26160931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304298193120245-0.304284304517777)×R²
    abs(-1.41744618--1.41749412)×1.38886024676488e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38886024676488e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38886024676488e-05×40589641000000     		ar = 8632.96989468888m²