Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35966 / 104313
↖ ↑ ↗
← S 72.283218°
W 81.216431°		 ← 92.94 m → S 72.283218°
W 81.213684°		 →
↑
92.95 m
↓
↑
92.95 m
↓
S 72.284053°
W 81.216431°		 ← 92.94 m →
8 639 m²		 S 72.284053°
W 81.213684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274402618408203 y=0.795848846435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274402618408203 × 217)
    floor (0.274402618408203 × 131072)
    floor (35966.5)     		tx = 35966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795848846435547 × 217)
    floor (0.795848846435547 × 131072)
    floor (104313.5)     		ty = 104313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35966 / 104313 ti = "17/35966/104313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35966/104313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35966 ÷ 217
    35966 ÷ 131072     		x = 0.274398803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104313 ÷ 217
    104313 ÷ 131072     		y = 0.795845031738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274398803710938 × 2 - 1) × π
    -0.451202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41749412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795845031738281 × 2 - 1) × π
    -0.591690063476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.85884915656692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41749412} λ = -1.41749412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85884915656692))-π/2
    2×atan(0.155851888321502)-π/2
    2×0.154608094550951-π/2
    0.309216189101903-1.57079632675     		φ = -1.26158014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41749412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.216431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26158014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.283218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35966 KachelY 104313 -1.41749412 -1.26158014 -81.216431 -72.283218
    Oben rechts KachelX + 1 35967 KachelY 104313 -1.41744618 -1.26158014 -81.213684 -72.283218
    Unten links KachelX 35966 KachelY + 1 104314 -1.41749412 -1.26159473 -81.216431 -72.284053
    Unten rechts KachelX + 1 35967 KachelY + 1 104314 -1.41744618 -1.26159473 -81.213684 -72.284053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26158014--1.26159473) × R
    1.45900000001475e-05 × 6371000     		dl = 92.95289000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26158014--1.26159473) × R
    1.45900000001475e-05 × 6371000     		dr = 92.95289000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41749412--1.41744618) × cos(-1.26158014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30431209118375 × 6371000     		do = 92.9447456406833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41749412--1.41744618) × cos(-1.26159473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304298193120245 × 6371000     		du = 92.9405008143527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26158014)-sin(-1.26159473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30431209118375-0.304298193120245)×R²
    abs(-1.41744618--1.41749412)×1.38980635050467e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38980635050467e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38980635050467e-05×40589641000000     		ar = 8639.28543323474m²