Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35965 / 104577
↖ ↑ ↗
← S 72.502548°
W 81.219177°		 ← 91.83 m → S 72.502548°
W 81.216431°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
S 72.503374°
W 81.219177°		 ← 91.83 m →
8 430 m²		 S 72.503374°
W 81.216431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274394989013672 y=0.797863006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274394989013672 × 217)
    floor (0.274394989013672 × 131072)
    floor (35965.5)     		tx = 35965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797863006591797 × 217)
    floor (0.797863006591797 × 131072)
    floor (104577.5)     		ty = 104577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35965 / 104577 ti = "17/35965/104577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35965/104577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35965 ÷ 217
    35965 ÷ 131072     		x = 0.274391174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104577 ÷ 217
    104577 ÷ 131072     		y = 0.797859191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274391174316406 × 2 - 1) × π
    -0.451217651367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.41754206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797859191894531 × 2 - 1) × π
    -0.595718383789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.87150449806661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41754206} λ = -1.41754206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87150449806661))-π/2
    2×atan(0.153891957407034)-π/2
    2×0.152694072606236-π/2
    0.305388145212473-1.57079632675     		φ = -1.26540818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41754206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.219177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26540818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.502548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35965 KachelY 104577 -1.41754206 -1.26540818 -81.219177 -72.502548
    Oben rechts KachelX + 1 35966 KachelY 104577 -1.41749412 -1.26540818 -81.216431 -72.502548
    Unten links KachelX 35965 KachelY + 1 104578 -1.41754206 -1.26542259 -81.219177 -72.503374
    Unten rechts KachelX + 1 35966 KachelY + 1 104578 -1.41749412 -1.26542259 -81.216431 -72.503374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26540818--1.26542259) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dl = 91.8061099994216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26540818--1.26542259) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dr = 91.8061099994216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41754206--1.41749412) × cos(-1.26540818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300663385216652 × 6371000     		do = 91.8303369206407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41754206--1.41749412) × cos(-1.26542259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300649641931483 × 6371000     		du = 91.8261393675981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26540818)-sin(-1.26542259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300663385216652-0.300649641931483)×R²
    abs(-1.41749412--1.41754206)×1.37432851683439e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37432851683439e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37432851683439e-05×40589641000000     		ar = 8430.39333211941m²