Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35964 / 104540
↖ ↑ ↗
← S 72.471968°
W 81.221924°		 ← 91.99 m → S 72.471968°
W 81.219177°		 →
↑
92 m
↓
↑
92 m
↓
S 72.472795°
W 81.221924°		 ← 91.98 m →
8 462 m²		 S 72.472795°
W 81.219177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274387359619141 y=0.797580718994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274387359619141 × 217)
    floor (0.274387359619141 × 131072)
    floor (35964.5)     		tx = 35964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797580718994141 × 217)
    floor (0.797580718994141 × 131072)
    floor (104540.5)     		ty = 104540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35964 / 104540 ti = "17/35964/104540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35964/104540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35964 ÷ 217
    35964 ÷ 131072     		x = 0.274383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104540 ÷ 217
    104540 ÷ 131072     		y = 0.797576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.45123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41759000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.59515380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86973083278067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41759000} λ = -1.41759000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86973083278067))-π/2
    2×atan(0.154165152436322)-π/2
    2×0.152960936346298-π/2
    0.305921872692595-1.57079632675     		φ = -1.26487445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41759000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.221924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26487445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.471968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35964 KachelY 104540 -1.41759000 -1.26487445 -81.221924 -72.471968
    Oben rechts KachelX + 1 35965 KachelY 104540 -1.41754206 -1.26487445 -81.219177 -72.471968
    Unten links KachelX 35964 KachelY + 1 104541 -1.41759000 -1.26488889 -81.221924 -72.472795
    Unten rechts KachelX + 1 35965 KachelY + 1 104541 -1.41754206 -1.26488889 -81.219177 -72.472795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26487445--1.26488889) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dl = 91.9972399996747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26487445--1.26488889) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dr = 91.9972399996747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41759000--1.41754206) × cos(-1.26487445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.301172376853073 × 6371000     		do = 91.9857960678483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41759000--1.41754206) × cos(-1.26488889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.301158607275004 × 6371000     		du = 91.9815904842772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26487445)-sin(-1.26488889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301172376853073-0.301158607275004)×R²
    abs(-1.41754206--1.41759000)×1.37695780686453e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37695780686453e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37695780686453e-05×40589641000000     		ar = 8462.24590650871m²