Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35964 / 104312
↖ ↑ ↗
← S 72.282382°
W 81.221924°		 ← 92.95 m → S 72.282382°
W 81.219177°		 →
↑
92.95 m
↓
↑
92.95 m
↓
S 72.283218°
W 81.221924°		 ← 92.94 m →
8 640 m²		 S 72.283218°
W 81.219177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274387359619141 y=0.795841217041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274387359619141 × 217)
    floor (0.274387359619141 × 131072)
    floor (35964.5)     		tx = 35964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795841217041016 × 217)
    floor (0.795841217041016 × 131072)
    floor (104312.5)     		ty = 104312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35964 / 104312 ti = "17/35964/104312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35964/104312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35964 ÷ 217
    35964 ÷ 131072     		x = 0.274383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104312 ÷ 217
    104312 ÷ 131072     		y = 0.79583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.45123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41759000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.5916748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.8588012196673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41759000} λ = -1.41759000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8588012196673))-π/2
    2×atan(0.1558593595569)-π/2
    2×0.154615388606622-π/2
    0.309230777213244-1.57079632675     		φ = -1.26156555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41759000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.221924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26156555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.282382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35964 KachelY 104312 -1.41759000 -1.26156555 -81.221924 -72.282382
    Oben rechts KachelX + 1 35965 KachelY 104312 -1.41754206 -1.26156555 -81.219177 -72.282382
    Unten links KachelX 35964 KachelY + 1 104313 -1.41759000 -1.26158014 -81.221924 -72.283218
    Unten rechts KachelX + 1 35965 KachelY + 1 104313 -1.41754206 -1.26158014 -81.219177 -72.283218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26156555--1.26158014) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dl = 92.9528899995253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26156555--1.26158014) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dr = 92.9528899995253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41759000--1.41754206) × cos(-1.26156555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304325989182476 × 6371000     		do = 92.9489904472289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41759000--1.41754206) × cos(-1.26158014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30431209118375 × 6371000     		du = 92.9447456406833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26156555)-sin(-1.26158014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304325989182476-0.30431209118375)×R²
    abs(-1.41754206--1.41759000)×1.38979987265309e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38979987265309e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38979987265309e-05×40589641000000     		ar = 8639.68000134679m²