Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35963 / 47923
↖ ↑ ↗
← S 63.673070°
E 17.550659°		 ← 270.88 m → S 63.673070°
E 17.556152°		 →
↑
270.89 m
↓
↑
270.89 m
↓
S 63.675506°
E 17.550659°		 ← 270.86 m →
73 377 m²		 S 63.675506°
E 17.556152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548759460449219 y=0.731254577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548759460449219 × 216)
    floor (0.548759460449219 × 65536)
    floor (35963.5)     		tx = 35963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731254577636719 × 216)
    floor (0.731254577636719 × 65536)
    floor (47923.5)     		ty = 47923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35963 / 47923 ti = "16/35963/47923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35963/47923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35963 ÷ 216
    35963 ÷ 65536     		x = 0.548751831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47923 ÷ 216
    47923 ÷ 65536     		y = 0.731246948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548751831054688 × 2 - 1) × π
    0.097503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30631679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731246948242188 × 2 - 1) × π
    -0.462493896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4529674274839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30631679} λ = 0.30631679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4529674274839))-π/2
    2×atan(0.233875249522302)-π/2
    2×0.229745806877725-π/2
    0.459491613755449-1.57079632675     		φ = -1.11130471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30631679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.550659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11130471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.673070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35963 KachelY 47923 0.30631679 -1.11130471 17.550659 -63.673070
    Oben rechts KachelX + 1 35964 KachelY 47923 0.30641266 -1.11130471 17.556152 -63.673070
    Unten links KachelX 35963 KachelY + 1 47924 0.30631679 -1.11134723 17.550659 -63.675506
    Unten rechts KachelX + 1 35964 KachelY + 1 47924 0.30641266 -1.11134723 17.556152 -63.675506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11130471--1.11134723) × R
    4.25200000000459e-05 × 6371000     		dl = 270.894920000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11130471--1.11134723) × R
    4.25200000000459e-05 × 6371000     		dr = 270.894920000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30631679-0.30641266) × cos(-1.11130471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443492511574543 × 6371000     		do = 270.879802156309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30631679-0.30641266) × cos(-1.11134723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443454401429794 × 6371000     		du = 270.856524945983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11130471)-sin(-1.11134723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443492511574543-0.443454401429794)×R²
    abs(0.30641266-0.30631679)×3.81101447494148e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81101447494148e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81101447494148e-05×40589641000000     		ar = 73376.8095069035m²