Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35963 / 104523
↖ ↑ ↗
← S 72.457900°
W 81.224670°		 ← 92.04 m → S 72.457900°
W 81.221924°		 →
↑
92 m
↓
↑
92 m
↓
S 72.458728°
W 81.224670°		 ← 92.03 m →
8 467 m²		 S 72.458728°
W 81.221924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274379730224609 y=0.797451019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274379730224609 × 217)
    floor (0.274379730224609 × 131072)
    floor (35963.5)     		tx = 35963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797451019287109 × 217)
    floor (0.797451019287109 × 131072)
    floor (104523.5)     		ty = 104523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35963 / 104523 ti = "17/35963/104523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35963/104523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35963 ÷ 217
    35963 ÷ 131072     		x = 0.274375915527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104523 ÷ 217
    104523 ÷ 131072     		y = 0.797447204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274375915527344 × 2 - 1) × π
    -0.451248168945312 × 3.1415926535     		Λ = -1.41763793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797447204589844 × 2 - 1) × π
    -0.594894409179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.86891590548713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41763793} λ = -1.41763793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86891590548713))-π/2
    2×atan(0.154290837031703)-π/2
    2×0.153083700831799-π/2
    0.306167401663597-1.57079632675     		φ = -1.26462893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41763793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.224670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26462893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.457900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35963 KachelY 104523 -1.41763793 -1.26462893 -81.224670 -72.457900
    Oben rechts KachelX + 1 35964 KachelY 104523 -1.41759000 -1.26462893 -81.221924 -72.457900
    Unten links KachelX 35963 KachelY + 1 104524 -1.41763793 -1.26464337 -81.224670 -72.458728
    Unten rechts KachelX + 1 35964 KachelY + 1 104524 -1.41759000 -1.26464337 -81.221924 -72.458728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26462893--1.26464337) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dl = 91.9972399996747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26462893--1.26464337) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dr = 91.9972399996747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41763793--1.41759000) × cos(-1.26462893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.301406488209551 × 6371000     		do = 92.0380970948959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41763793--1.41759000) × cos(-1.26464337) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.301392719699622 × 6371000     		du = 92.0338927147539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26462893)-sin(-1.26464337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301406488209551-0.301392719699622)×R²
    abs(-1.41759000--1.41763793)×1.37685099289575e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37685099289575e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37685099289575e-05×40589641000000     		ar = 8467.05751201932m²