Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3596 / 3580
↖ ↑ ↗
← N 70.641769°
W100.986328°		 ← 809.88 m → N 70.641769°
W100.964355°		 →
↑
810.01 m
↓
↑
810.01 m
↓
N 70.634484°
W100.986328°		 ← 810.17 m →
656 130 m²		 N 70.634484°
W100.964355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219512939453125 y=0.218536376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219512939453125 × 214)
    floor (0.219512939453125 × 16384)
    floor (3596.5)     		tx = 3596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218536376953125 × 214)
    floor (0.218536376953125 × 16384)
    floor (3580.5)     		ty = 3580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3596 / 3580 ti = "14/3596/3580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3596/3580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3596 ÷ 214
    3596 ÷ 16384     		x = 0.219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3580 ÷ 214
    3580 ÷ 16384     		y = 0.218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.56103515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76254393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218505859375 × 2 - 1) × π
    0.56298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76867984838159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76254393} λ = -1.76254393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76867984838159))-π/2
    2×atan(5.86310805842813)-π/2
    2×1.40186389032552-π/2
    2.80372778065105-1.57079632675     		φ = 1.23293145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76254393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.986328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23293145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.641769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3596 KachelY 3580 -1.76254393 1.23293145 -100.986328 70.641769
    Oben rechts KachelX + 1 3597 KachelY 3580 -1.76216043 1.23293145 -100.964355 70.641769
    Unten links KachelX 3596 KachelY + 1 3581 -1.76254393 1.23280431 -100.986328 70.634484
    Unten rechts KachelX + 1 3597 KachelY + 1 3581 -1.76216043 1.23280431 -100.964355 70.634484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23293145-1.23280431) × R
    0.000127140000000026 × 6371000     		dl = 810.008940000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23293145-1.23280431) × R
    0.000127140000000026 × 6371000     		dr = 810.008940000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76254393--1.76216043) × cos(1.23293145) × R
    0.000383500000000092 × 0.331473436165073 × 6371000     		do = 809.881919903439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76254393--1.76216043) × cos(1.23280431) × R
    0.000383500000000092 × 0.331593385568842 × 6371000     		du = 810.174989702757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23293145)-sin(1.23280431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331473436165073-0.331593385568842)×R²
    abs(-1.76216043--1.76254393)×0.000119949403769692×R²
    0.000383500000000092×0.000119949403769692×6371000²
    0.000383500000000092×0.000119949403769692×40589641000000     		ar = 656130.290930298m²