Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3596 / 2827
↖ ↑ ↗
← N 48.603857°
W 21.972656°		 ← 3 231.25 m → N 48.603857°
W 21.928711°		 →
↑
3 232.14 m
↓
↑
3 232.14 m
↓
N 48.574790°
W 21.972656°		 ← 3 233.11 m →
10 446 841 m²		 N 48.574790°
W 21.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43902587890625 y=0.34515380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43902587890625 × 213)
    floor (0.43902587890625 × 8192)
    floor (3596.5)     		tx = 3596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34515380859375 × 213)
    floor (0.34515380859375 × 8192)
    floor (2827.5)     		ty = 2827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3596 / 2827 ti = "13/3596/2827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3596/2827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3596 ÷ 213
    3596 ÷ 8192     		x = 0.43896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2827 ÷ 213
    2827 ÷ 8192     		y = 0.3450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38349520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3450927734375 × 2 - 1) × π
    0.309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.97331080988562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38349520} λ = -0.38349520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97331080988562))-π/2
    2×atan(2.64669266578097)-π/2
    2×1.20954683560533-π/2
    2.41909367121065-1.57079632675     		φ = 0.84829734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38349520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84829734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.603857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3596 KachelY 2827 -0.38349520 0.84829734 -21.972656 48.603857
    Oben rechts KachelX + 1 3597 KachelY 2827 -0.38272821 0.84829734 -21.928711 48.603857
    Unten links KachelX 3596 KachelY + 1 2828 -0.38349520 0.84779002 -21.972656 48.574790
    Unten rechts KachelX + 1 3597 KachelY + 1 2828 -0.38272821 0.84779002 -21.928711 48.574790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84829734-0.84779002) × R
    0.000507319999999978 × 6371000     		dl = 3232.13571999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84829734-0.84779002) × R
    0.000507319999999978 × 6371000     		dr = 3232.13571999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38349520--0.38272821) × cos(0.84829734) × R
    0.000766989999999967 × 0.661261363699339 × 6371000     		do = 3231.24921665293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38349520--0.38272821) × cos(0.84779002) × R
    0.000766989999999967 × 0.661641847521221 × 6371000     		du = 3233.10844829551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84829734)-sin(0.84779002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661261363699339-0.661641847521221)×R²
    abs(-0.38272821--0.38349520)×0.000380483821881383×R²
    0.000766989999999967×0.000380483821881383×6371000²
    0.000766989999999967×0.000380483821881383×40589641000000     		ar = 10446840.8819289m²