Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3596 / 2568
↖ ↑ ↗
← N 76.800739°
W100.986328°		 ← 557.89 m → N 76.800739°
W100.964355°		 →
↑
557.97 m
↓
↑
557.97 m
↓
N 76.795721°
W100.986328°		 ← 558.10 m →
311 348 m²		 N 76.795721°
W100.964355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219512939453125 y=0.156768798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219512939453125 × 214)
    floor (0.219512939453125 × 16384)
    floor (3596.5)     		tx = 3596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156768798828125 × 214)
    floor (0.156768798828125 × 16384)
    floor (2568.5)     		ty = 2568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3596 / 2568 ti = "14/3596/2568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3596/2568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3596 ÷ 214
    3596 ÷ 16384     		x = 0.219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2568 ÷ 214
    2568 ÷ 16384     		y = 0.15673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.56103515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76254393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15673828125 × 2 - 1) × π
    0.6865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15677698770557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76254393} λ = -1.76254393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15677698770557))-π/2
    2×atan(8.64323546389512)-π/2
    2×1.45561104258962-π/2
    2.91122208517924-1.57079632675     		φ = 1.34042576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76254393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.986328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34042576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.800739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3596 KachelY 2568 -1.76254393 1.34042576 -100.986328 76.800739
    Oben rechts KachelX + 1 3597 KachelY 2568 -1.76216043 1.34042576 -100.964355 76.800739
    Unten links KachelX 3596 KachelY + 1 2569 -1.76254393 1.34033818 -100.986328 76.795721
    Unten rechts KachelX + 1 3597 KachelY + 1 2569 -1.76216043 1.34033818 -100.964355 76.795721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34042576-1.34033818) × R
    8.7579999999976e-05 × 6371000     		dl = 557.972179999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34042576-1.34033818) × R
    8.7579999999976e-05 × 6371000     		dr = 557.972179999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76254393--1.76216043) × cos(1.34042576) × R
    0.000383500000000092 × 0.228338316309318 × 6371000     		do = 557.894098964891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76254393--1.76216043) × cos(1.34033818) × R
    0.000383500000000092 × 0.228423581731685 × 6371000     		du = 558.102426138153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34042576)-sin(1.34033818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228338316309318-0.228423581731685)×R²
    abs(-1.76216043--1.76254393)×8.52654223668925e-05×R²
    0.000383500000000092×8.52654223668925e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.52654223668925e-05×40589641000000     		ar = 311347.507191044m²