Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35959 / 47904
↖ ↑ ↗
← S 63.626745°
E 17.528686°		 ← 271.35 m → S 63.626745°
E 17.534180°		 →
↑
271.28 m
↓
↑
271.28 m
↓
S 63.629185°
E 17.528686°		 ← 271.33 m →
73 608 m²		 S 63.629185°
E 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548698425292969 y=0.730964660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548698425292969 × 216)
    floor (0.548698425292969 × 65536)
    floor (35959.5)     		tx = 35959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730964660644531 × 216)
    floor (0.730964660644531 × 65536)
    floor (47904.5)     		ty = 47904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35959 / 47904 ti = "16/35959/47904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35959/47904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35959 ÷ 216
    35959 ÷ 65536     		x = 0.548690795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47904 ÷ 216
    47904 ÷ 65536     		y = 0.73095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548690795898438 × 2 - 1) × π
    0.097381591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30593329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45114582529834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30593329} λ = 0.30593329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45114582529834))-π/2
    2×atan(0.234301665450161)-π/2
    2×0.230150070218353-π/2
    0.460300140436706-1.57079632675     		φ = -1.11049619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30593329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.528686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11049619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.626745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35959 KachelY 47904 0.30593329 -1.11049619 17.528686 -63.626745
    Oben rechts KachelX + 1 35960 KachelY 47904 0.30602917 -1.11049619 17.534180 -63.626745
    Unten links KachelX 35959 KachelY + 1 47905 0.30593329 -1.11053877 17.528686 -63.629185
    Unten rechts KachelX + 1 35960 KachelY + 1 47905 0.30602917 -1.11053877 17.534180 -63.629185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11049619--1.11053877) × R
    4.25799999999033e-05 × 6371000     		dl = 271.277179999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11049619--1.11053877) × R
    4.25799999999033e-05 × 6371000     		dr = 271.277179999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30593329-0.30602917) × cos(-1.11049619) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.444217025290261 × 6371000     		do = 271.350627339732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30593329-0.30602917) × cos(-1.11053877) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44417887664753 × 6371000     		du = 271.32732418486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11049619)-sin(-1.11053877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444217025290261-0.44417887664753)×R²
    abs(0.30602917-0.30593329)×3.81486427308841e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.81486427308841e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.81486427308841e-05×40589641000000     		ar = 73608.0721798908m²