Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35959 / 104488
↖ ↑ ↗
← S 72.428902°
W 81.235657°		 ← 92.20 m → S 72.428902°
W 81.232910°		 →
↑
92.19 m
↓
↑
92.19 m
↓
S 72.429731°
W 81.235657°		 ← 92.20 m →
8 500 m²		 S 72.429731°
W 81.232910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274349212646484 y=0.797183990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274349212646484 × 217)
    floor (0.274349212646484 × 131072)
    floor (35959.5)     		tx = 35959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797183990478516 × 217)
    floor (0.797183990478516 × 131072)
    floor (104488.5)     		ty = 104488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35959 / 104488 ti = "17/35959/104488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35959/104488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35959 ÷ 217
    35959 ÷ 131072     		x = 0.274345397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104488 ÷ 217
    104488 ÷ 131072     		y = 0.79718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274345397949219 × 2 - 1) × π
    -0.451309204101562 × 3.1415926535     		Λ = -1.41782968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79718017578125 × 2 - 1) × π
    -0.5943603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.86723811400043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41782968} λ = -1.41782968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86723811400043))-π/2
    2×atan(0.154549922169194)-π/2
    2×0.153336751802212-π/2
    0.306673503604425-1.57079632675     		φ = -1.26412282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41782968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.235657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26412282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.428902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35959 KachelY 104488 -1.41782968 -1.26412282 -81.235657 -72.428902
    Oben rechts KachelX + 1 35960 KachelY 104488 -1.41778174 -1.26412282 -81.232910 -72.428902
    Unten links KachelX 35959 KachelY + 1 104489 -1.41782968 -1.26413729 -81.235657 -72.429731
    Unten rechts KachelX + 1 35960 KachelY + 1 104489 -1.41778174 -1.26413729 -81.232910 -72.429731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26412282--1.26413729) × R
    1.44699999999887e-05 × 6371000     		dl = 92.1883699999277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26412282--1.26413729) × R
    1.44699999999887e-05 × 6371000     		dr = 92.1883699999277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41782968--1.41778174) × cos(-1.26412282) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.301889023316395 × 6371000     		do = 92.2046783446539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41782968--1.41778174) × cos(-1.26413729) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.301875228410504 × 6371000     		du = 92.2004650253137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26412282)-sin(-1.26413729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301889023316395-0.301875228410504)×R²
    abs(-1.41778174--1.41782968)×1.37949058917064e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.37949058917064e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.37949058917064e-05×40589641000000     		ar = 8500.00479363433m²