Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35958 / 104502
↖ ↑ ↗
← S 72.440507°
W 81.238403°		 ← 92.15 m → S 72.440507°
W 81.235657°		 →
↑
92.12 m
↓
↑
92.12 m
↓
S 72.441336°
W 81.238403°		 ← 92.14 m →
8 489 m²		 S 72.441336°
W 81.235657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274341583251953 y=0.797290802001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274341583251953 × 217)
    floor (0.274341583251953 × 131072)
    floor (35958.5)     		tx = 35958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797290802001953 × 217)
    floor (0.797290802001953 × 131072)
    floor (104502.5)     		ty = 104502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35958 / 104502 ti = "17/35958/104502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35958/104502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35958 ÷ 217
    35958 ÷ 131072     		x = 0.274337768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104502 ÷ 217
    104502 ÷ 131072     		y = 0.797286987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274337768554688 × 2 - 1) × π
    -0.451324462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41787762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797286987304688 × 2 - 1) × π
    -0.594573974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86790923059511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41787762} λ = -1.41787762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86790923059511))-π/2
    2×atan(0.154446235948383)-π/2
    2×0.153235482836893-π/2
    0.306470965673786-1.57079632675     		φ = -1.26432536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41787762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.238403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26432536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.440507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35958 KachelY 104502 -1.41787762 -1.26432536 -81.238403 -72.440507
    Oben rechts KachelX + 1 35959 KachelY 104502 -1.41782968 -1.26432536 -81.235657 -72.440507
    Unten links KachelX 35958 KachelY + 1 104503 -1.41787762 -1.26433982 -81.238403 -72.441336
    Unten rechts KachelX + 1 35959 KachelY + 1 104503 -1.41782968 -1.26433982 -81.235657 -72.441336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26432536--1.26433982) × R
    1.44600000000494e-05 × 6371000     		dl = 92.1246600003149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26432536--1.26433982) × R
    1.44600000000494e-05 × 6371000     		dr = 92.1246600003149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41787762--1.41782968) × cos(-1.26432536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.301695927019303 × 6371000     		do = 92.1457017647961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41787762--1.41782968) × cos(-1.26433982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.301682140763037 × 6371000     		du = 92.1414910872745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26432536)-sin(-1.26433982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301695927019303-0.301682140763037)×R²
    abs(-1.41782968--1.41787762)×1.37862562653579e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37862562653579e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37862562653579e-05×40589641000000     		ar = 8488.69749210762m²