Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35957 / 104519
↖ ↑ ↗
← S 72.454589°
W 81.241150°		 ← 92.05 m → S 72.454589°
W 81.238403°		 →
↑
92.06 m
↓
↑
92.06 m
↓
S 72.455417°
W 81.241150°		 ← 92.05 m →
8 474 m²		 S 72.455417°
W 81.238403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274333953857422 y=0.797420501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274333953857422 × 217)
    floor (0.274333953857422 × 131072)
    floor (35957.5)     		tx = 35957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797420501708984 × 217)
    floor (0.797420501708984 × 131072)
    floor (104519.5)     		ty = 104519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35957 / 104519 ti = "17/35957/104519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35957/104519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35957 ÷ 217
    35957 ÷ 131072     		x = 0.274330139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104519 ÷ 217
    104519 ÷ 131072     		y = 0.797416687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274330139160156 × 2 - 1) × π
    -0.451339721679688 × 3.1415926535     		Λ = -1.41792555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797416687011719 × 2 - 1) × π
    -0.594833374023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.86872415788865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41792555} λ = -1.41792555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86872415788865))-π/2
    2×atan(0.15432042476577)-π/2
    2×0.153112600459154-π/2
    0.306225200918308-1.57079632675     		φ = -1.26457113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41792555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.241150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26457113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.454589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35957 KachelY 104519 -1.41792555 -1.26457113 -81.241150 -72.454589
    Oben rechts KachelX + 1 35958 KachelY 104519 -1.41787762 -1.26457113 -81.238403 -72.454589
    Unten links KachelX 35957 KachelY + 1 104520 -1.41792555 -1.26458558 -81.241150 -72.455417
    Unten rechts KachelX + 1 35958 KachelY + 1 104520 -1.41787762 -1.26458558 -81.238403 -72.455417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26457113--1.26458558) × R
    1.44500000001102e-05 × 6371000     		dl = 92.0609500007021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26457113--1.26458558) × R
    1.44500000001102e-05 × 6371000     		dr = 92.0609500007021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41792555--1.41787762) × cos(-1.26457113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.301461599759898 × 6371000     		do = 92.0549260697862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41792555--1.41787762) × cos(-1.26458558) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.301447821966723 × 6371000     		du = 92.0507188548934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26457113)-sin(-1.26458558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301461599759898-0.301447821966723)×R²
    abs(-1.41787762--1.41792555)×1.37777931750738e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37777931750738e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37777931750738e-05×40589641000000     		ar = 8474.47028638225m²