Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35957 / 104289
↖ ↑ ↗
← S 72.263147°
W 81.241150°		 ← 93.03 m → S 72.263147°
W 81.238403°		 →
↑
93.02 m
↓
↑
93.02 m
↓
S 72.263983°
W 81.241150°		 ← 93.02 m →
8 653 m²		 S 72.263983°
W 81.238403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274333953857422 y=0.795665740966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274333953857422 × 217)
    floor (0.274333953857422 × 131072)
    floor (35957.5)     		tx = 35957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795665740966797 × 217)
    floor (0.795665740966797 × 131072)
    floor (104289.5)     		ty = 104289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35957 / 104289 ti = "17/35957/104289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35957/104289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35957 ÷ 217
    35957 ÷ 131072     		x = 0.274330139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104289 ÷ 217
    104289 ÷ 131072     		y = 0.795661926269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274330139160156 × 2 - 1) × π
    -0.451339721679688 × 3.1415926535     		Λ = -1.41792555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795661926269531 × 2 - 1) × π
    -0.591323852539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.85769867097604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41792555} λ = -1.41792555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85769867097604))-π/2
    2×atan(0.156031296857006)-π/2
    2×0.154783243844002-π/2
    0.309566487688004-1.57079632675     		φ = -1.26122984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41792555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.241150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26122984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.263147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35957 KachelY 104289 -1.41792555 -1.26122984 -81.241150 -72.263147
    Oben rechts KachelX + 1 35958 KachelY 104289 -1.41787762 -1.26122984 -81.238403 -72.263147
    Unten links KachelX 35957 KachelY + 1 104290 -1.41792555 -1.26124444 -81.241150 -72.263983
    Unten rechts KachelX + 1 35958 KachelY + 1 104290 -1.41787762 -1.26124444 -81.238403 -72.263983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26122984--1.26124444) × R
    1.46000000000868e-05 × 6371000     		dl = 93.0166000005528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26122984--1.26124444) × R
    1.46000000000868e-05 × 6371000     		dr = 93.0166000005528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41792555--1.41787762) × cos(-1.26122984) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.304645758612768 × 6371000     		do = 93.0272472809417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41792555--1.41787762) × cos(-1.26124444) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.30463185258068 × 6371000     		du = 93.0230009067541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26122984)-sin(-1.26124444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304645758612768-0.30463185258068)×R²
    abs(-1.41787762--1.41792555)×1.39060320878959e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.39060320878959e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.39060320878959e-05×40589641000000     		ar = 8652.88075801556m²