Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35956 / 104828
↖ ↑ ↗
← S 72.708638°
W 81.243896°		 ← 90.78 m → S 72.708638°
W 81.241150°		 →
↑
90.72 m
↓
↑
90.72 m
↓
S 72.709454°
W 81.243896°		 ← 90.78 m →
8 236 m²		 S 72.709454°
W 81.241150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274326324462891 y=0.799777984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274326324462891 × 217)
    floor (0.274326324462891 × 131072)
    floor (35956.5)     		tx = 35956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799777984619141 × 217)
    floor (0.799777984619141 × 131072)
    floor (104828.5)     		ty = 104828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35956 / 104828 ti = "17/35956/104828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35956/104828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35956 ÷ 217
    35956 ÷ 131072     		x = 0.274322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104828 ÷ 217
    104828 ÷ 131072     		y = 0.799774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.45135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41797349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.59954833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88353665987125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41797349} λ = -1.41797349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88353665987125))-π/2
    2×atan(0.152051399624794)-π/2
    2×0.15089560014239-π/2
    0.30179120028478-1.57079632675     		φ = -1.26900513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41797349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.243896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26900513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.708638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35956 KachelY 104828 -1.41797349 -1.26900513 -81.243896 -72.708638
    Oben rechts KachelX + 1 35957 KachelY 104828 -1.41792555 -1.26900513 -81.241150 -72.708638
    Unten links KachelX 35956 KachelY + 1 104829 -1.41797349 -1.26901937 -81.243896 -72.709454
    Unten rechts KachelX + 1 35957 KachelY + 1 104829 -1.41792555 -1.26901937 -81.241150 -72.709454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26900513--1.26901937) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dl = 90.7230400003454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26900513--1.26901937) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dr = 90.7230400003454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41797349--1.41792555) × cos(-1.26900513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297230927332366 × 6371000     		do = 90.7819759313146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41797349--1.41792555) × cos(-1.26901937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297217330870173 × 6371000     		du = 90.7778232217879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26900513)-sin(-1.26901937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297230927332366-0.297217330870173)×R²
    abs(-1.41792555--1.41797349)×1.35964621930107e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35964621930107e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35964621930107e-05×40589641000000     		ar = 8235.82846073013m²