Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35956 / 104496
↖ ↑ ↗
← S 72.435534°
W 81.243896°		 ← 92.17 m → S 72.435534°
W 81.241150°		 →
↑
92.19 m
↓
↑
92.19 m
↓
S 72.436363°
W 81.243896°		 ← 92.17 m →
8 497 m²		 S 72.436363°
W 81.241150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274326324462891 y=0.797245025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274326324462891 × 217)
    floor (0.274326324462891 × 131072)
    floor (35956.5)     		tx = 35956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797245025634766 × 217)
    floor (0.797245025634766 × 131072)
    floor (104496.5)     		ty = 104496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35956 / 104496 ti = "17/35956/104496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35956/104496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35956 ÷ 217
    35956 ÷ 131072     		x = 0.274322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104496 ÷ 217
    104496 ÷ 131072     		y = 0.7972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.45135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41797349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7972412109375 × 2 - 1) × π
    -0.594482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86762160919739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41797349} λ = -1.41797349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86762160919739))-π/2
    2×atan(0.154490664379616)-π/2
    2×0.15327887588813-π/2
    0.30655775177626-1.57079632675     		φ = -1.26423857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41797349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.243896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26423857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.435534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35956 KachelY 104496 -1.41797349 -1.26423857 -81.243896 -72.435534
    Oben rechts KachelX + 1 35957 KachelY 104496 -1.41792555 -1.26423857 -81.241150 -72.435534
    Unten links KachelX 35956 KachelY + 1 104497 -1.41797349 -1.26425304 -81.243896 -72.436363
    Unten rechts KachelX + 1 35957 KachelY + 1 104497 -1.41792555 -1.26425304 -81.241150 -72.436363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26423857--1.26425304) × R
    1.44699999999887e-05 × 6371000     		dl = 92.1883699999277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26423857--1.26425304) × R
    1.44699999999887e-05 × 6371000     		dr = 92.1883699999277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41797349--1.41792555) × cos(-1.26423857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30177867183341 × 6371000     		do = 92.1709741608761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41797349--1.41792555) × cos(-1.26425304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.301764876421988 × 6371000     		du = 92.1667606871338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26423857)-sin(-1.26425304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30177867183341-0.301764876421988)×R²
    abs(-1.41792555--1.41797349)×1.37954114224348e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37954114224348e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37954114224348e-05×40589641000000     		ar = 8496.89765280491m²