Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35955 / 104324
↖ ↑ ↗
← S 72.292409°
W 81.246643°		 ← 92.90 m → S 72.292409°
W 81.243896°		 →
↑
92.89 m
↓
↑
92.89 m
↓
S 72.293244°
W 81.246643°		 ← 92.89 m →
8 629 m²		 S 72.293244°
W 81.243896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274318695068359 y=0.795932769775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274318695068359 × 217)
    floor (0.274318695068359 × 131072)
    floor (35955.5)     		tx = 35955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795932769775391 × 217)
    floor (0.795932769775391 × 131072)
    floor (104324.5)     		ty = 104324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35955 / 104324 ti = "17/35955/104324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35955/104324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35955 ÷ 217
    35955 ÷ 131072     		x = 0.274314880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104324 ÷ 217
    104324 ÷ 131072     		y = 0.795928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274314880371094 × 2 - 1) × π
    -0.451370239257812 × 3.1415926535     		Λ = -1.41802143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795928955078125 × 2 - 1) × π
    -0.59185791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.85937646246274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41802143} λ = -1.41802143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85937646246274))-π/2
    2×atan(0.155769728365533)-π/2
    2×0.154527881917761-π/2
    0.309055763835522-1.57079632675     		φ = -1.26174056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41802143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.246643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26174056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.292409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35955 KachelY 104324 -1.41802143 -1.26174056 -81.246643 -72.292409
    Oben rechts KachelX + 1 35956 KachelY 104324 -1.41797349 -1.26174056 -81.243896 -72.292409
    Unten links KachelX 35955 KachelY + 1 104325 -1.41802143 -1.26175514 -81.246643 -72.293244
    Unten rechts KachelX + 1 35956 KachelY + 1 104325 -1.41797349 -1.26175514 -81.243896 -72.293244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26174056--1.26175514) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dl = 92.8891799999125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26174056--1.26175514) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dr = 92.8891799999125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41802143--1.41797349) × cos(-1.26174056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304159275606522 × 6371000     		do = 92.898071829925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41802143--1.41797349) × cos(-1.26175514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304145386357218 × 6371000     		du = 92.8938296956782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26174056)-sin(-1.26175514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304159275606522-0.304145386357218)×R²
    abs(-1.41797349--1.41802143)×1.38892493044551e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38892493044551e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38892493044551e-05×40589641000000     		ar = 8629.02869175122m²