Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35954 / 104315
↖ ↑ ↗
← S 72.284889°
W 81.249389°		 ← 92.92 m → S 72.284889°
W 81.246643°		 →
↑
92.95 m
↓
↑
92.95 m
↓
S 72.285725°
W 81.249389°		 ← 92.91 m →
8 637 m²		 S 72.285725°
W 81.246643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274311065673828 y=0.795864105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274311065673828 × 217)
    floor (0.274311065673828 × 131072)
    floor (35954.5)     		tx = 35954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795864105224609 × 217)
    floor (0.795864105224609 × 131072)
    floor (104315.5)     		ty = 104315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35954 / 104315 ti = "17/35954/104315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35954/104315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35954 ÷ 217
    35954 ÷ 131072     		x = 0.274307250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104315 ÷ 217
    104315 ÷ 131072     		y = 0.795860290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274307250976562 × 2 - 1) × π
    -0.451385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41806936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795860290527344 × 2 - 1) × π
    -0.591720581054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.85894503036616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41806936} λ = -1.41806936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85894503036616))-π/2
    2×atan(0.155836946925105)-π/2
    2×0.154593507438787-π/2
    0.309187014877573-1.57079632675     		φ = -1.26160931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41806936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.249389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26160931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.284889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35954 KachelY 104315 -1.41806936 -1.26160931 -81.249389 -72.284889
    Oben rechts KachelX + 1 35955 KachelY 104315 -1.41802143 -1.26160931 -81.246643 -72.284889
    Unten links KachelX 35954 KachelY + 1 104316 -1.41806936 -1.26162390 -81.249389 -72.285725
    Unten rechts KachelX + 1 35955 KachelY + 1 104316 -1.41802143 -1.26162390 -81.246643 -72.285725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26160931--1.26162390) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dl = 92.9528899995253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26160931--1.26162390) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dr = 92.9528899995253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41806936--1.41802143) × cos(-1.26160931) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.304284304517777 × 6371000     		do = 92.9168729247434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41806936--1.41802143) × cos(-1.26162390) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.304270406324769 × 6371000     		du = 92.9126289443131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26160931)-sin(-1.26162390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304284304517777-0.304270406324769)×R²
    abs(-1.41802143--1.41806936)×1.38981930082882e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.38981930082882e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.38981930082882e-05×40589641000000     		ar = 8636.69462310435m²