Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35954 / 104296
↖ ↑ ↗
← S 72.269003°
W 81.249389°		 ← 93 m → S 72.269003°
W 81.246643°		 →
↑
93.02 m
↓
↑
93.02 m
↓
S 72.269840°
W 81.249389°		 ← 92.99 m →
8 650 m²		 S 72.269840°
W 81.246643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274311065673828 y=0.795719146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274311065673828 × 217)
    floor (0.274311065673828 × 131072)
    floor (35954.5)     		tx = 35954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795719146728516 × 217)
    floor (0.795719146728516 × 131072)
    floor (104296.5)     		ty = 104296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35954 / 104296 ti = "17/35954/104296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35954/104296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35954 ÷ 217
    35954 ÷ 131072     		x = 0.274307250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104296 ÷ 217
    104296 ÷ 131072     		y = 0.79571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274307250976562 × 2 - 1) × π
    -0.451385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41806936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.5914306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.85803422927338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41806936} λ = -1.41806936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85803422927338))-π/2
    2×atan(0.155978948044231)-π/2
    2×0.154732138805141-π/2
    0.309464277610283-1.57079632675     		φ = -1.26133205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41806936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.249389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26133205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.269003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35954 KachelY 104296 -1.41806936 -1.26133205 -81.249389 -72.269003
    Oben rechts KachelX + 1 35955 KachelY 104296 -1.41802143 -1.26133205 -81.246643 -72.269003
    Unten links KachelX 35954 KachelY + 1 104297 -1.41806936 -1.26134665 -81.249389 -72.269840
    Unten rechts KachelX + 1 35955 KachelY + 1 104297 -1.41802143 -1.26134665 -81.246643 -72.269840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26133205--1.26134665) × R
    1.45999999998647e-05 × 6371000     		dl = 93.0165999991381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26133205--1.26134665) × R
    1.45999999998647e-05 × 6371000     		dr = 93.0165999991381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41806936--1.41802143) × cos(-1.26133205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.304548405499646 × 6371000     		do = 92.997519336692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41806936--1.41802143) × cos(-1.26134665) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.304534499013029 × 6371000     		du = 92.9932728237084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26133205)-sin(-1.26134665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304548405499646-0.304534499013029)×R²
    abs(-1.41802143--1.41806936)×1.3906486617199e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.3906486617199e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.3906486617199e-05×40589641000000     		ar = 8650.11555918584m²