Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35953 / 104298
↖ ↑ ↗
← S 72.270676°
W 81.252136°		 ← 93.01 m → S 72.270676°
W 81.249389°		 →
↑
92.95 m
↓
↑
92.95 m
↓
S 72.271512°
W 81.252136°		 ← 93 m →
8 645 m²		 S 72.271512°
W 81.249389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274303436279297 y=0.795734405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274303436279297 × 217)
    floor (0.274303436279297 × 131072)
    floor (35953.5)     		tx = 35953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795734405517578 × 217)
    floor (0.795734405517578 × 131072)
    floor (104298.5)     		ty = 104298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35953 / 104298 ti = "17/35953/104298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35953/104298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35953 ÷ 217
    35953 ÷ 131072     		x = 0.274299621582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104298 ÷ 217
    104298 ÷ 131072     		y = 0.795730590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274299621582031 × 2 - 1) × π
    -0.451400756835938 × 3.1415926535     		Λ = -1.41811730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795730590820312 × 2 - 1) × π
    -0.591461181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.85813010307262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41811730} λ = -1.41811730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85813010307262))-π/2
    2×atan(0.15596399446672)-π/2
    2×0.154717540365334-π/2
    0.309435080730667-1.57079632675     		φ = -1.26136125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41811730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.252136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26136125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.270676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35953 KachelY 104298 -1.41811730 -1.26136125 -81.252136 -72.270676
    Oben rechts KachelX + 1 35954 KachelY 104298 -1.41806936 -1.26136125 -81.249389 -72.270676
    Unten links KachelX 35953 KachelY + 1 104299 -1.41811730 -1.26137584 -81.252136 -72.271512
    Unten rechts KachelX + 1 35954 KachelY + 1 104299 -1.41806936 -1.26137584 -81.249389 -72.271512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26136125--1.26137584) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dl = 92.9528899995253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26136125--1.26137584) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dr = 92.9528899995253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41811730--1.41806936) × cos(-1.26136125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304520592461497 × 6371000     		do = 93.0084272977301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41811730--1.41806936) × cos(-1.26137584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304506695370156 × 6371000     		du = 93.0041827683233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26136125)-sin(-1.26137584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304520592461497-0.304506695370156)×R²
    abs(-1.41806936--1.41811730)×1.38970913414194e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38970913414194e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38970913414194e-05×40589641000000     		ar = 8645.20484108973m²