Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35953 / 104297
↖ ↑ ↗
← S 72.269840°
W 81.252136°		 ← 93.01 m → S 72.269840°
W 81.249389°		 →
↑
93.02 m
↓
↑
93.02 m
↓
S 72.270676°
W 81.252136°		 ← 93.01 m →
8 652 m²		 S 72.270676°
W 81.249389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274303436279297 y=0.795726776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274303436279297 × 217)
    floor (0.274303436279297 × 131072)
    floor (35953.5)     		tx = 35953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795726776123047 × 217)
    floor (0.795726776123047 × 131072)
    floor (104297.5)     		ty = 104297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35953 / 104297 ti = "17/35953/104297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35953/104297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35953 ÷ 217
    35953 ÷ 131072     		x = 0.274299621582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104297 ÷ 217
    104297 ÷ 131072     		y = 0.795722961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274299621582031 × 2 - 1) × π
    -0.451400756835938 × 3.1415926535     		Λ = -1.41811730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795722961425781 × 2 - 1) × π
    -0.591445922851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.858082166173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41811730} λ = -1.41811730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.858082166173))-π/2
    2×atan(0.155971471076268)-π/2
    2×0.154724839418596-π/2
    0.309449678837193-1.57079632675     		φ = -1.26134665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41811730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.252136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26134665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.269840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35953 KachelY 104297 -1.41811730 -1.26134665 -81.252136 -72.269840
    Oben rechts KachelX + 1 35954 KachelY 104297 -1.41806936 -1.26134665 -81.249389 -72.269840
    Unten links KachelX 35953 KachelY + 1 104298 -1.41811730 -1.26136125 -81.252136 -72.270676
    Unten rechts KachelX + 1 35954 KachelY + 1 104298 -1.41806936 -1.26136125 -81.249389 -72.270676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26134665--1.26136125) × R
    1.46000000000868e-05 × 6371000     		dl = 93.0166000005528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26134665--1.26136125) × R
    1.46000000000868e-05 × 6371000     		dr = 93.0166000005528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41811730--1.41806936) × cos(-1.26134665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304534499013029 × 6371000     		do = 93.0126747165226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41811730--1.41806936) × cos(-1.26136125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304520592461497 × 6371000     		du = 93.0084272977301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26134665)-sin(-1.26136125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304534499013029-0.304520592461497)×R²
    abs(-1.41806936--1.41811730)×1.39065515319947e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39065515319947e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39065515319947e-05×40589641000000     		ar = 8651.52521902841m²