Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35952 / 47856
↖ ↑ ↗
← S 63.509376°
E 17.490235°		 ← 272.44 m → S 63.509376°
E 17.495728°		 →
↑
272.42 m
↓
↑
272.42 m
↓
S 63.511826°
E 17.490235°		 ← 272.42 m →
74 217 m²		 S 63.511826°
E 17.495728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548591613769531 y=0.730232238769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548591613769531 × 216)
    floor (0.548591613769531 × 65536)
    floor (35952.5)     		tx = 35952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730232238769531 × 216)
    floor (0.730232238769531 × 65536)
    floor (47856.5)     		ty = 47856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35952 / 47856 ti = "16/35952/47856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35952/47856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35952 ÷ 216
    35952 ÷ 65536     		x = 0.548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47856 ÷ 216
    47856 ÷ 65536     		y = 0.730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548583984375 × 2 - 1) × π
    0.09716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30526218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.46044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44654388293481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30526218} λ = 0.30526218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44654388293481))-π/2
    2×atan(0.235382393025956)-π/2
    2×0.231174310088869-π/2
    0.462348620177738-1.57079632675     		φ = -1.10844771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30526218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.490235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10844771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.509376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35952 KachelY 47856 0.30526218 -1.10844771 17.490235 -63.509376
    Oben rechts KachelX + 1 35953 KachelY 47856 0.30535805 -1.10844771 17.495728 -63.509376
    Unten links KachelX 35952 KachelY + 1 47857 0.30526218 -1.10849047 17.490235 -63.511826
    Unten rechts KachelX + 1 35953 KachelY + 1 47857 0.30535805 -1.10849047 17.495728 -63.511826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10844771--1.10849047) × R
    4.27599999999195e-05 × 6371000     		dl = 272.423959999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10844771--1.10849047) × R
    4.27599999999195e-05 × 6371000     		dr = 272.423959999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30526218-0.30535805) × cos(-1.10844771) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44605136456709 × 6371000     		do = 272.442718269384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30526218-0.30535805) × cos(-1.10849047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446013093644468 × 6371000     		du = 272.4193428579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10844771)-sin(-1.10849047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44605136456709-0.446013093644468)×R²
    abs(0.30535805-0.30526218)×3.82709226224298e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82709226224298e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82709226224298e-05×40589641000000     		ar = 74216.7401839692m²