Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35952 / 104328
↖ ↑ ↗
← S 72.295750°
W 81.254883°		 ← 92.88 m → S 72.295750°
W 81.252136°		 →
↑
92.89 m
↓
↑
92.89 m
↓
S 72.296586°
W 81.254883°		 ← 92.88 m →
8 627 m²		 S 72.296586°
W 81.252136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274295806884766 y=0.795963287353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274295806884766 × 217)
    floor (0.274295806884766 × 131072)
    floor (35952.5)     		tx = 35952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795963287353516 × 217)
    floor (0.795963287353516 × 131072)
    floor (104328.5)     		ty = 104328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35952 / 104328 ti = "17/35952/104328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35952/104328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35952 ÷ 217
    35952 ÷ 131072     		x = 0.2742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104328 ÷ 217
    104328 ÷ 131072     		y = 0.79595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41816524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.5919189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.85956821006122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41816524} λ = -1.41816524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85956821006122))-π/2
    2×atan(0.155739862757624)-π/2
    2×0.154498723675866-π/2
    0.308997447351732-1.57079632675     		φ = -1.26179888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41816524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.254883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26179888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.295750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35952 KachelY 104328 -1.41816524 -1.26179888 -81.254883 -72.295750
    Oben rechts KachelX + 1 35953 KachelY 104328 -1.41811730 -1.26179888 -81.252136 -72.295750
    Unten links KachelX 35952 KachelY + 1 104329 -1.41816524 -1.26181346 -81.254883 -72.296586
    Unten rechts KachelX + 1 35953 KachelY + 1 104329 -1.41811730 -1.26181346 -81.252136 -72.296586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26179888--1.26181346) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dl = 92.8891799999125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26179888--1.26181346) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dr = 92.8891799999125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41816524--1.41811730) × cos(-1.26179888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304103718221391 × 6371000     		do = 92.881103174459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41816524--1.41811730) × cos(-1.26181346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304089828713488 × 6371000     		du = 92.8768609612294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26179888)-sin(-1.26181346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304103718221391-0.304089828713488)×R²
    abs(-1.41811730--1.41816524)×1.38895079032642e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38895079032642e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38895079032642e-05×40589641000000     		ar = 8627.45248351437m²